第7章：行列式

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行列式是从矩阵 $\mx{A}$ 到值 $\det(\mx{A})$ 的函数。我们稍后会看到行列式可以用三个简单的性质来定义。然而，在深入细节之前，我们将首先看一维、二维和三维行列式的显式表达式。 对于 $1 \times 1$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{r} a \end{array} \right) \end{equation}

(7.3)

行列式简单地就是 $\det(\mx{A}) = a$。 这就是向量的长度（带符号）

\begin{equation} \vc{a} = \left( \begin{array}{r} a \end{array} \right) . \end{equation}

(7.4)

这里很容易看出，当 $\det(\mx{A}) = a \neq 0$ 时，方程 $ \mx{A} \vc{x} = \vc{b} $ 有唯一解。 当行列式为零时，如果 $\vc{b} \neq \vc{0}$，可能没有解。 作为 $1\times 1$ 矩阵的例子，即方程简化为 $ax=b$，假设当 $a=0$ 时 $a x = 3$ 没有解。 如果 $b = 0 $，则有无穷多个解 $x$，因为方程现在为 $0 x = 0$。

对于 $2 \times 2$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right) \end{equation}

(7.5)

行列式为 $\det(\mx{A}) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$。 行列式有时用单条竖线作为左右括号来表示，因此我们可以将上式写为

\begin{equation} \det(\mx{A}) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} . \end{equation}

(7.6)

如果我们将两列看作平面中两个向量的坐标，即

\begin{equation} \mx{A} = \begin{pmatrix} \vc{a}_{,1} & \vc{a}_{,2} \end{pmatrix} \end{equation}

(7.7)

那么行列式就是由 $\vc{a}_{,1}$ 和 $\vc{a}_{,2}$ 张成的平行四边形的面积（带符号）。 回顾定义 6.2 中列向量和行向量的记号。 这在交互式插图 7.2中可视化展示。 如果两个向量是正（负）定向的，行列式的符号为正（负）。这在插图中用绿色（红色）平行四边形表示。尝试在插图中改变行列式的符号。

For a $3 \times 3$ matrix

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \end{equation}

(7.8)

行列式为 $\det(\mx{A}) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$。 如果我们将三列看作空间中三个向量的坐标，即

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rrr} \vc{a}_{,1} & \vc{a}_{,2} & \vc{a}_{,3} \end{array} \right) \end{equation}

(7.9)

那么行列式就是由 $\vc{a}_1$、$\vc{a}_2$ 和 $\vc{a}_3$ 张成的平行六面体的体积。 在交互式插图 7.3中，由 $\vc{a}_{,1}$、$\vc{a}_{,2}$ 和 $\vc{a}_{,3}$ 张成的平行六面体的体积被可视化展示。

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在下文中，我们稍微放宽记号，使得矩阵 $\mx{A}$ 的列向量 $\vc{a}_{,i}$ 也可以记作 $\vc{a}_i$。 定义行列式有几种不同的方式。 使用什么定义是技术性问题，最终结果是相同的。 这里我们使用三个基本性质根据以下定义来定义一般 $n \times n$ 矩阵 $\mx{A}$ 的行列式。

事实证明，有且只有一个函数满足这三个性质。 行列式存在性和唯一性的证明有点技术性，不如行列式的性质重要。 为了不遮蔽视野，我们将这些证明留到第 7.3 节。 从这三个基本性质可以推导出许多其他有用的性质，我们在定理 7.1中对其进行总结。

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表面上看，陈述 $(vi)$ 可能看起来有悖常理，因为行列式与列向量张成的面积或体积有关，而向列向量添加某物会使其变长。为什么即使其中一个向量变长，面积仍然保持不变？原因在交互式插图 7.4中得到了说明。 上述定义和规则可以用来计算行列式。以下是一个例子。

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本小节包含一个证明，即确实存在一个函数满足定义 7.1中的性质，这样的函数只有一个，以及计算行列式的公式。为了完成这个证明，我们需要引入 $n$ 个数的排列概念。 排列的主要思想其实非常简单，最好通过在一般的 $2 \times 2 $ 矩阵上使用性质 $(i)-(vi)$ 来举例说明。

在这个例子中，我们通过展开每一列来计算 $2 \times 2$ 行列式。 对一般的 $n \times n$ 矩阵执行此操作，可以得到行列式的显式表达式。 这个表达式最好用 $n$ 个数的排列概念来表达。

排列 $p$ 由它如何作用于集合来指定，即通过数字 $p(1), p(2), \ldots, p(n)$。 由于 $p$ 是双射，集合 $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ 中的每个数字在列表 $p(1), p(2), \ldots, p(n)$ 中恰好出现一次。 换句话说，这些数字被重新排列或置换。有时使用记号 $p = [p(1), p(2), \ldots, p(n)] $。

如果 $p$ 是 $n$ 个元素的排列，则有 ${n \choose 2}$ 对数字 $(p(i),p(j))$。其中一些是正确的顺序，即 $(p(i),p(j))$ 与 $(i,j)$ 的顺序相同。另一方面，如果 $(p(i),p(j))$ 与 $(i,j)$ 相比顺序错误，那么这对被称为逆序。

这里 $\circ$ 用于表示复合，即 $p \circ q$ 是先按照 $q$ 进行排列，然后按照 $p$ 进行排列的结果排列。（更一般地，复合用于组合两个函数。复合函数 $f = g \circ h$ 使得 $f(x) = g(h(x))$，即先使用函数 $h$，然后对结果使用 $g$。） $n$ 个元素的排列 $p$ 可以表示为 $n \times n$ 矩阵 $\mx{E}_p$，使得 $\mx{E}_p$ 除了元素 $(p(1),1), (p(2),2) \ldots, (p(n),n)$ 外都是零。这些元素被设置为1。$\mx{E}_p$ 的行列式特别容易计算。我们有 $\det(\mx{E}_p) = \sigma(p)$。 现在我们准备陈述一个定理，它给出了一般维数的行列式的显式公式。

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因此，$1$ 阶、$2$ 阶和 $3$ 阶行列式分别由 $1$ 项、$2$ 项和 $6$ 项组成，这与之前的例子一致。 有一些相对容易的模式可以用来记忆 $2 \times 2$ 行列式。写出矩阵并想象一个十字交叉。对角线上的元素应该相乘，然后减去另一条对角线的乘积，如下图所示。

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\, - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \,\,\,\,\,\,\,\, \swarrow \\ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}, \end{equation}

(7.34)

即 $a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$。 对于 $3 \times 3$ 矩阵，也有一个可以用来记忆行列式的模式。将矩阵的列 $\vc{a}_1$、$\vc{a}_2$ 和 $\vc{a}_3$ 按照以下模式写两次，

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - &\,\, - & - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \!\swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{11} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{12} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{21} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{22} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{31} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{32} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{33} \\ \end{array} \end{equation}

(7.35)

即 $+a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}$。 然而，请注意，对于计算较大矩阵的行列式，并不存在类似的简单模式，例如，对于计算 $4 \times 4$ 矩阵的行列式，没有简单的模式。 还要注意，项数增长很快，例如，对于 $4 \times 4$ 矩阵有 $24$ 项，对于 $5 \times 5$ 矩阵有 $120$ 项。

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In this section, we present theorems about the determinant of a transposed matrix, of a product of matrices, and of the inverse of a matrix.

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使用定理 7.5，我们可以证明以下有用的结果。

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在交互式插图 7.5 中，定理 7.6 针对 $2\times 2$ 矩阵进行了展示。 例如，如果您使 $\mx{A}$ 的平行四边形面积变小，那么 $\mx{A}^{-1}$ 的平行四边形面积会变大，反之亦然。

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我们从余子式的定义开始本节，它是可以从方阵计算出的标量值。

这些行列式通常称为矩阵的余子式或一阶余子式。

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如果该行或列中有很多零，则按行或列展开特别有用。这在以下示例中得到了说明

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在本节中，我们将介绍方阵 $\mx{A}$ 的伴随矩阵 $\adj( \mx{A} )$。

注意，我们在定义中使用的是 $D_{ji}$ 而不是 $D_{ij}$。

伴随矩阵通过以下定理与逆矩阵密切相关。

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在本节中，将介绍克拉默法则。当您想要求解 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 的解 $\vc{x}$ 而不需要知道 $\mx{A}$ 的逆矩阵时，它很有用。

换句话说，通过将 $\mx{A}$ 中的第 $i$ 列替换为右侧 $\vc{y}$，然后计算此矩阵的行列式并除以 $\mx{A}$ 的行列式，我们直接得到解向量 $\vc{x}$ 的第 $i$ 个坐标。 这似乎太容易了。

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在交互式插图 7.6 中，我们使用克拉默法则求解方程组 $\mx{A}\vc{z}=\vc{b}$ 的解 $\vc{z}$。

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