第11章：二次型

定义：在平面上的二次型是函数 $$ q(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2, $$ 其中 $A=\begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}$，假定 $A$ 为实对称矩阵。等高线 $q(x,y)=k$ 的形状随 $k$ 及 $A$ 的正负性而变化： - 若 $A$ 正定，则所有等高线为封闭椭圆； - 若 $A$ 不定，则存在鞍型等高线（双曲线）； - 若 $A$ 半正定，则出现退化（线对或点）。

要点：矩阵 $A$ 的特征值决定二次型的主惯性方向与伸缩大小；特征向量给出椭圆的主轴方向，特征值大小影响半轴长度。

交互说明： 左侧滑块调整 $a,b,c$，画布实时显示热力图／等高线，用颜色区分正负区域（蓝=正、红=负、黄=零）。观察滑块变化时等高线的拓扑变化。

目的：通过适当的线性替换，将二次型写成若干个独立平方项之和（或差），从而明确主轴方向。配方法是 $2$ 维中常用的手算工具，它也对应着用上三角或正交变换把矩阵对角化的一步。

原理：配方法的核心思想是通过代数变形，逐步消除二次型中的交叉项（如 $xy$ 项），将其转化为只包含平方项的标准形式。对于一般的二元二次型 $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$，我们可以分两步进行： 1. 处理 $x$ 相关项：将所有含 $x$ 的项提取出来，写成关于 $x$ 的完全平方形式，多余的部分仅含 $y$； 2. 处理 $y$ 相关项：对剩余的 $y$ 项重复上述过程，最终得到只包含平方项的表达式。 这种变形本质上是一种坐标变换，将原始坐标系下的二次型转化为以其主轴为坐标轴的标准坐标系下的二次型，从而揭示出二次型的几何本质。

方法示例（完整步骤）：设 $$3x^2+4xy+3y^2.$$ 把与 $x$ 相关的部分提取常数： $$3x^2+4xy+3y^2=3\Bigl(x^2+\tfrac{4}{3}xy\Bigr)+3y^2.$$ 接着配方（对 $x$ 做平移替换）： $$x^2+\tfrac{4}{3}xy=\Bigl(x+\tfrac{2}{3}y\Bigr)^2-\tfrac{4}{9}y^2.$$ 代回得到标准形式： $$3\Bigl(x+\tfrac{2}{3}y\Bigr)^2+\tfrac{5}{3}y^2.$$ 从该表达式可以直接读出主轴方向（由替换 $x+\tfrac{2}{3}y$ 给出）和坐标伸缩（系数大小）。

可视化： 右侧动画把原始坐标网格随参数平滑剪切到替换后的坐标系。观察网格与等高线如何沿主轴对齐。

谱定理（Spectral Theorem）是实对称矩阵理论的核心结果，它断言：任何实对称矩阵都可以正交对角化。即存在正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\Lambda$，使得 $$A=Q\Lambda Q^{T}.$$

正交矩阵 $Q$ 具有以下关键性质：

• 每一列都是 $A$ 的一个特征向量；
• 所有列向量构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基（单位长度且彼此正交）；
• $Q^T = Q^{-1}$，即逆矩阵等于转置矩阵。

对角矩阵 $\Lambda$ 的对角线元素是 $A$ 的特征值，且与 $Q$ 中特征向量的顺序一一对应。

二次型的正交对角化 对二次型 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 而言，正交对角化表示存在正交变换（纯旋转，无伸缩），将二次曲线/曲面的主轴方向转到坐标轴上，从而将二次型化简为平方项之和的标准形： $$\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=(Q\mathbf{y})^{T}A(Q\mathbf{y}) = \mathbf{y}^{T}\Lambda \mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \dots + \lambda_n y_n^2,$$ 其中 $\mathbf{y}=Q^T \mathbf{x}$ 是正交变换后的坐标。

正交对角化步骤与示例详解

正交对角化是实对称矩阵特有的性质，以下通过具体示例说明完整步骤。假设给定矩阵： $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

对实对称矩阵 $A$ 进行正交对角化的完整步骤：

1. 求特征值： 计算特征方程 $\det(A - \lambda I)=0$。 $$\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0$$ 解得特征值 $\lambda_1=5$，$\lambda_2=1$。
2. 求特征向量： 对每个特征值 $\lambda$，求解齐次线性方程组 $(A - \lambda I)\mathbf{x}=0$。
   • 对 $\lambda_1=5$： $$(A - 5I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathbf{0}$$ 解为 $x = y$，取特征向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
   • 对 $\lambda_2=1$： $$(A - I)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mathbf{0}$$ 解为 $x = -y$，取特征向量 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
3. 正交化： 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量天然正交，因此只需检查同一特征值的特征向量。在此例中，特征值均为单根，无需进一步正交化。
4. 单位化： 将特征向量标准化为单位向量。 $$\mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{q}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
5. 构造矩阵： 将单位正交特征向量作为列构造正交矩阵 $Q$，特征值按相同顺序放在 $\Lambda$ 的对角线上。 $$Q = \begin{pmatrix} \mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

验证：$Q\Lambda Q^T = A$ 成立。

几何意义

正交变换是保面积/体积的旋转（行列式为 $\pm 1$），因此在正交对角化过程中，二次曲线/曲面的形状保持不变，仅通过旋转使其主轴与坐标轴对齐。这与一般的非正交对角化（可能包含伸缩）形成鲜明对比。

示例： 考虑矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$，其特征值为 $\lambda_1=5$（对应特征向量 $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$）和 $\lambda_2=1$（对应特征向量 $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$）。将特征向量单位化后得到正交矩阵 $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$，对角矩阵 $\Lambda = \begin{pmatrix}5&0\\0&1\end{pmatrix}$，验证得 $Q\Lambda Q^T = A$。

交互： 点击“主轴对齐”按钮，直观演示椭球旋转到主轴方向的过程，并同时显示 $Q\Lambda Q^T$ 的分解数值。

二次型的正定性判据（重要结论、便于计算）：

• 主子式判据（顺序主子式）： 对于对称矩阵 $A$，若所有顺序主子式（leading principal minors）均为正，则 $A$ 正定。
• 特征值判据： 若矩阵 $A$ 的所有特征值均为正，$A$ 亦正定；若存在正与负特征值，则 $A$ 不定。
• 几何判据： 正定二次型的等高线均为封闭椭圆，曲面朝上；不定二次型出现鞍面。

点击“主轴对齐”，观察椭球旋转与分解。

辛点（要点）：

• Sylvester 惯性定理： 对称矩阵在任意可逆线性变换下（$B=C^{T}AC$）保持正、负、零特征值的个数不变，这组计数称为矩阵的惯性（inertia）。
• 物理联系：这是惯性矩阵不随坐标变换而“改变主征号”的数学表述，说明二次型的正负性质是坐标无关的本征属性。

交互： 点击“随机 C”生成可逆变换 $C$，计算并展示 $C^{T}AC$ 的特征值与正/负计数；对比 A 与 C^TAC 的惯性不变性。

线性代数的展望与应用

线性代数作为数学的核心分支之一，在现代科学与工程领域具有广泛的应用前景。从本章讨论的二次型理论出发，我们可以看到线性代数在以下几个方面的重要价值：

• 数据科学与机器学习：二次型的正定性分析是支持向量机（SVM）等分类算法的基础，而特征值分解和奇异值分解（SVD）则广泛应用于数据降维、图像压缩和推荐系统中。
• 物理与工程学：除了转动惯量张量，线性代数在量子力学（希尔伯特空间）、控制系统（状态空间模型）和结构力学（刚度矩阵）中都扮演着关键角色。
• 计算机图形学：二次型用于表示曲面和几何体，而矩阵变换则是实现三维图形旋转、缩放和投影的核心技术。
• 优化理论：二次规划问题是凸优化的重要组成部分，广泛应用于资源分配、金融风险管理和工程设计中。

随着人工智能和大数据技术的发展，线性代数的应用前景将更加广阔。理解线性代数的基本概念和方法，不仅有助于深入理解现代科技的底层原理，也为解决复杂问题提供了强大的数学工具。