第1章：引言

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本节描述本书中使用的符号表示法。读者现在可以跳过本节，在需要时再回来查看，但这是一个简短易读的内容，因此最好在深入其他章节之前先阅读。

注意，本书中的所有内容都有编号。这样做是为了方便与他人讨论不同的方程、表达式等。也就是说，你可以随时引用方程3.12，这意味着该方程/表达式在第3章，且是该章的第12个。

通常意义上的数字可以是正数、负数，可以有小数，甚至可以是有理数或无理数。 所有这些数的集合用$\R$表示，这些数被称为实数。 我们经常使用标量或标量值这个术语，而不是说实数， 在本书中，它们总是用小写字母表示，例如$j, s, t, a, m$。 它们也可以有下标，这意味着$k_1$、$k_2$和$k_3$是不同的数。也可以写成$\sum_{i=1}^3k_i$来表示 $k_1$、$k_2$和$k_3$的和。 符号$k\in \R$表示$k$是一个实数，或更准确地说，$k$属于所有实数的集合。

标量$k$的绝对值记为$\abs{k}$，定义为

\begin{equation} \abs{k} = \left\{ \begin{matrix} k, & \mathrm{if\ } k \geq 0\\ -k, & \mathrm{if\ } k < 0 \end{matrix} \right. , \end{equation}

(1.1)

也就是说，如果数字是负数，则去掉负号。

集合是一个小的数的集合，例如整数。包含数字$1$、$2$和$4$的集合 表示为：$\{1,2,4\}$。当希望有一个变量，比如$i$，可以取集合中的任何成员时， 我们写作：$i\in\{1,2,4\}$。

实数通常可以取某个范围内的值。例如，如果我们知道$x$可以取从零到一的任何值， 包括零和一，我们可以写$x \in [0, 1]$。圆括号表示不包含端点的值（[] 是闭区间，() 是开区间）。例如，

\begin{gather} x \in [-1, 2) \ \ \ \mathrm{denotes} \ \ \ -1 \leq x < 2 \\ \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ \ \ \mathrm{denotes} \ \ \ -\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{\pi}{2}. \end{gather}

(1.2)

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本节总结了一些在本书中将会用到的有用三角学概念， 但这绝不是对该主题的全面论述。

余弦、正弦和正切函数总是值得牢记的。 参见图1.1。 对于直角三角形，以下关系成立：

\begin{align} \cos \theta &= \frac{a}{c}, \\ \sin \theta &= \frac{b}{c}, \\ \tan \theta &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a}. \end{align}

(1.3)

对于图1.1的勾股定理是$c^2 = a^2 + b^2$。

接下来，将介绍一组有用的三角恒等式。 三角恒等式为

\begin{equation} \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1. \end{equation}

(1.4)

余弦定理是一个非常有用的公式，其几何设置如图1.2所示。 余弦定理为

\begin{equation} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma. \end{equation}

(1.5)

正弦定理与之相关，其几何设置如图1.3所示。 正弦定理为

\begin{equation} \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}. \end{equation}

(1.6)

我们省略了本节所有三角学的证明。不过，其中一些公式将在后续章节中得到证明。

余弦和正弦的反函数也很重要。 例如，$\theta = \arcsin a$表示$\sin \theta = a$。函数$\arcsin a$的值域范围是$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。同样，$\theta = \arccos a$表示$\cos \theta = a$，且$\arccos a \in [0, \pi]$。

但是请注意，仅仅因为$\sin \theta = a$，我们不能得出$\theta = \arcsin a$。例如，$\sin 4\pi = 0$，但$\arcsin 0 = 0$，而不是$4\pi$。实际上$\sin \theta = a$有无穷多个解，而$\arcsin$只是$\sin$在范围$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$内的反函数。然而，我们可以将$\sin \theta = a$的所有解列为$\theta = \arcsin(a) \pm 2 k \pi$，其中$k = 0, 1, 2, 3, \ldots$，以此类推。

至此，是时候开始本书的第一个真正的章节了。 点击此处进入第2章，或使用左上角的菜单进行导航。