第2章：向量 (沉浸式线性代数)

在本书中，我们用大写斜体字母表示点，例如$A$、$B$和$Q$。在前几章的大部分内容中，我们将使用二维和三维点，以及一些偶尔的一维点。我们从向量的定义开始。

定义2.1：向量
设$A$和$B$是两个点。从$A$到$B$的有向线段记为：

\begin{equation} \overrightarrow{AB} \end{equation}

(2.1)

这个有向线段构成一个向量。如果你可以将线段移动到另一个具有相同方向和长度的线段，它们构成相同的向量。

$A$

$B$

$\overrightarrow{AB}$

$C$

$D$

$\overrightarrow{CD} = \vc{v}$

例如，交互式插图2.2中的两个线段 $\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$ 构成相同的向量，按下"前进"按钮可以看到。

我们说 $\overrightarrow{AB}$是一个向量，并且

\begin{equation} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \end{equation}

(2.2)

向量的简短记法是使用单个粗体字符，如$\vc{v}$。如图所示，$\vc{v} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$。一些书籍区分有向线段和向量，并保留简写形式$\vc{v}$用于真正的向量，而较长的$\overrightarrow{AB}$用于有向线段。虽然这在数学上可能更严格，但本书忽略了这种差异，我们将向量和有向线段视为同一事物。

为了方便，我们还使用术语起点和终点来描述向量，其中终点是箭头所在的位置，起点是另一端。

一个向量由以下要素完全定义：

方向，以及
它的长度

注意，向量的起始位置不在上面的列表中。只要方向和长度不变，就可以移动它并让它从任何位置开始。这在交互式插图2.3中有所说明。

交互式插图2.3：向量没有特定的起始位置。这个向量绘制在某个位置，但即使将它移动到其他地方开始，它仍然是同一个向量。点击/触摸前进来移动向量。

$\vc{u}$

向量的长度记为$\ln{\overrightarrow{AB}}$，简写为$\ln{\vc{v}}$。

\begin{equation} \text{向量的长度:}\spc\spc \ln{\vc{v}} \end{equation}

(2.3)

向量的长度是一个标量，这只意味着它是一个普通的数，如$7.5$。使用术语标量是为了强调它只是一个数，而不是向量或点。关于如何计算向量的长度的具体方法将推迟到第3章。

注意点的顺序很重要，即如果改变$A$和$B$的顺序，会得到另一个向量$\overrightarrow{BA}$。它的方向相反，但长度相同，即$\ln{\overrightarrow{AB}} = \ln{\overrightarrow{BA}}$。即使$\overrightarrow{AA}$也是一个向量，它被称为零向量，如下面的定义所示。

定义2.2：零向量
零向量记为$\vc{0}$，可以使用相同的点两次用有向线段创建，即$\vc{0}=\overrightarrow{AA}$。注意$\ln{\vc{0}}=0$，即零向量的长度为零。

两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$如果具有相同方向或相反方向，则它们是平行的，但不一定具有相同的长度。这在右侧的图2.4中显示。注意你可以改变图中的向量，有些可以通过抓取终点来改变，其他的可以通过抓取起点。记号

\begin{equation} \vc{u}\, ||\, \vc{v} \end{equation}

(2.4)

意味着$\vc{u}$平行于$\vc{v}$。零向量$\vc{0}$被认为与所有其他向量平行。接下来，我们将介绍如何将两个向量相加形成一个新向量，然后在2.3节中介绍标量向量乘法。

线性代数中有两个基本的向量运算，即向量加法和 标量向量乘法，后者有时被称为向量缩放。本书中的大部分数学都建立在这两个运算之上，即使是最复杂的运算也经常回归到加法和缩放。向量缩放在2.3节中描述，而向量加法在这里描述。幸运的是，向量加法和向量缩放都按我们预期的方式运作。

定义2.3：向量加法
两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$的和$\vc{u}+\vc{v}$，是通过将$\vc{u}$放置在某个任意位置，然后放置$\vc{v}$使得$\vc{v}$的起点与$\vc{u}$的终点重合，而$\vc{u}+\vc{v}$是从$\vc{u}$的起点开始，到$\vc{v}$的终点结束的向量。

交互式插图2.5展示了如何精确构造向量和。

交互式插图2.5：显示了两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$。这两个向量将相加形成向量和$\vc{u} + \vc{v}$。注意可以像往常一样通过拖动向量的终点来改变它们。点击/按下前进继续到插图的下一阶段。

交互式插图2.5：显示了两个向量$\hid{\vc{u}}$和$\hid{\vc{v}}$。这两个向量将相加形成向量和$\hid{\vc{u} + \vc{v}}$。注意可以像往常一样通过拖动向量的终点来改变它们。点击/按下前进继续到插图的下一阶段。

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{v}$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

到目前为止，我们只在平面上演示了向量加法，即在二维中。然而，它也可以在三维中演示。下面的交互式插图2.6展示了这一点。记住您可以通过在右键点击的同时移动鼠标或使用双指滑动来旋转图形。

交互式插图2.6：显示了两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$。这两个向量将相加形成向量和$\vc{u} + \vc{v}$。注意可以像往常一样通过拖动向量的终点来改变它们。如果这样做，您将在屏幕平面内移动点。点击/按下前进继续到插图的下一阶段。

交互式插图2.6：在这个最后阶段，我们添加了一些虚线辅助线，以便更容易看到空间关系。回想一下，您可以按下鼠标右键，保持按下并移动鼠标，从另一个视角观察向量加法。对于平板电脑，同样的操作是通过双指滑动完成的。注意通过这样改变视角，您可以验证$\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$和 $\hid{\vc{u}+\vc{v}}$都在同一平面内。也尝试移动向量，使投影点不再在一条直线上。

$\vc{u}$

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{v}$

正如我们在打砖块游戏2.1中看到的，球的速度在一段时间后增加了 50%。这是向量缩放（更正式地称为标量向量乘法）的一个例子：速度向量被乘以 $1.5$。缩放因子也可以为负数；下面的定义总结了这些性质。

定义2.4：标量向量乘法
当向量 $\vc{v}$ 乘以标量 $k$ 时，得到向量 $k\vc{v}$。它与 $\vc{v}$ 平行，且其长度为 $\abs{k}\,\ln{\vc{v}}$。若 $k<0$，则 $k\vc{v}$ 的方向与 $\vc{v}$ 相反；若 $k>0$，方向相同；若 $k=0$，则 $k\vc{v}=\vc{0}$。

由此推出，如果两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$满足$\vc{u} = k \vc{v}$对于某个标量$k$，则$\vc{u}$和$\vc{v}$是平行的。

下面的交互式插图2.7展示了标量向量乘法。鼓励读者尝试这个插图。

交互式插图2.7：这里展示了向量$\vc{v}$如何与标量$k$相乘，从而生成$k\vc{v}$。读者可以移动向量$\vc{v}$，也可以通过拖动插图下方的滑块来调整$k$的值。注意当$k$为负数时$k\vc{v}$会发生什么。作为练习，试着让$\vc{v}$的终点与$k\vc{v}$的终点重合。

交互式插图2.7：这里展示了向量$\hid{\vc{v}}$如何与标量$\hid{k}$相乘，从而生成$\hid{k\vc{v}}$。读者可以移动向量$\hid{\vc{v}}$，也可以通过拖动插图下方的滑块来调整$\hid{k}$的值。注意当$\hid{k}$为负数时$\hid{k\vc{v}}$会发生什么。作为练习，试着让$\hid{\vc{v}}$的终点与$\hid{k\vc{v}}$的终点重合。

$k=$

$\vc{v}$

$k\vc{v}$

现在我们既可以相加向量，也可以用实数缩放向量，减去两个向量也相当直接。下面的例子展示了这一点。

例2.1：向量减法
注意通过使用向量加法(定义2.3) 和标量向量乘法(定义2.4)乘以$-1$，我们可以从一个向量$\vc{u}$中减去另一个向量$\vc{v}$，按照

\begin{equation} \underbrace{\vc{u} + (\underbrace{-1\vc{v}}_{\text{scaling}})}_{\text{addition}} = \vc{u}-\vc{v}, \end{equation}

(2.5)

其中我们引入了简写符号$\vc{u}-\vc{v}$，表示等号左边的表达式。下面展示了向量减法。

交互式插图2.8：这里展示了向量减法$\vc{u}-\vc{v}$。首先，只显示两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$。

交互式插图2.8：最后，我们看到$\hid{\vc{u}-\vc{v}}$是从$\hid{\vc{v}}$的终点到$\hid{\vc{u}}$的终点的向量。读者可以移动红色($\hid{\vc{u}}$)和绿色($\hid{\vc{v}}$)向量，作为练习，试试如果将$\hid{\vc{u}}$或$\hid{\vc{v}}$之一设为零向量会发生什么，也试试设置$\hid{\vc{u}=\vc{v}}$。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$-\vc{v}$

$\vc{u}-\vc{v}$

例2.2：盒子
在这个例子中，我们将看到如何使用三个彼此成直角的向量来创建一个盒子。

交互式插图2.9：在这个例子中，我们有一个红色、一个绿色和一个蓝色向量。它们彼此都成直角，并且被约束为这样。不过，向量的长度可以交互式地改变。接下来，我们将展示如何用这些向量构建一个盒子。

关于使用向量加法和标量向量乘法，有许多不同的规则。这是下一节的主题。

在计算中使用向量加法和标量向量乘法定理2.1中总结。

定理2.1：向量运算的性质
假设$\vc{u}$、$\vc{v}$和$\vc{w}$是相同大小的向量，$k$和$l$是标量，则以下规则成立：

\begin{gather} \begin{array}{llr} (i) & \vc{u}+\vc{v} = \vc{v}+\vc{u} & \spc\text{(交换律)} \\ (ii) & (\vc{u}+\vc{v})+\vc{w} = \vc{u}+(\vc{v}+\vc{w}) & \spc\text{(结合律)} \\ (iii) & \vc{v}+\vc{0} = \vc{v} & \spc\text{(零元存在)} \\ (iv) & \vc{v}+ (-\vc{v}) = \vc{0} & \spc\text{(负向量存在)} \\ (v) & k(l\vc{v}) = (kl)\vc{v} & \spc\text{(结合律)}\\ (vi) & 1\vc{v} = \vc{v} & \spc\text{(乘法1)} \\ (vii) & 0\vc{v} = \vc{0} & \spc\text{(乘法0)} \\ (viii) & k\vc{0} = \vc{0} & \spc\text{(乘零向量)} \\ (ix) & k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v} & \spc\text{(分配律1)} \\ (x) & (k+l)\vc{v} = k\vc{v}+l\vc{v} & \spc\text{(分配律2)} \\ \end{array} \end{gather}

(2.6)

虽然上述大多数(或全部)规则感觉非常自然和直观，但它们必须被证明。鼓励读者查看证明，尤其是交互式插图，它们可以增强对许多规则的感觉和直觉。

证明：

$(i)$ 这个规则(交换律)已经在定义2.3的图中证明过。证明这个规则的另一种方法在下面的交互式插图2.10中展示。

交互式插图2.10：这个交互式插图展示了向量加法的交换律。这意味着 $\vc{u}+\vc{v}=\vc{v}+\vc{u}$。点击/触摸前进继续。

交互式插图2.10：最后，我们还在左侧和右侧显示了其他平移的向量。可以看到，无论操作数的顺序如何，结果的向量和都是相同的。回想一下，向量可以移动。

$\textcolor{#aa0000}{\vc{u}}$

$\textcolor{#00aa00}{\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{u}+\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{v}+\vc{u}}$

$(ii)$ 这个规则(结合律)的证明在交互式插图2.11中展示。

交互式插图2.11：考虑三个向量$\vc{u}$、$\vc{v}$和$\vc{w}$。由于向量没有特定的起始点，我们将它们排列为 $\vc{v}$从$\vc{u}$结束的地方开始， $\vc{w}$从$\vc{v}$结束的地方开始。

交互式插图2.11：考虑三个向量$\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$和$\hid{\vc{w}}$。由于向量没有特定的起始点，我们将它们排列为 $\hid{\vc{v}}$从$\hid{\vc{u}}$结束的地方开始， $\hid{\vc{w}}$从$\hid{\vc{v}}$结束的地方开始。

$\textcolor{#aa0000}{\vc{u}}$

$\textcolor{#00aa00}{\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{w}}$

$\textcolor{#00aaaa}{\vc{v}+\vc{w}}$

$\vc{u}+(\vc{v}+\vc{w})$

$\textcolor{#aaaa00}{\vc{u}+\vc{v}}$

$(\vc{u}+\vc{v})+\vc{w}$

$\vc{u}+\vc{v}+\vc{w}$

$(iii)$ 由于零向量的长度为零，向量加法的定义告诉我们$\vc{v}+\vc{0}$与$\vc{v}$相同。
$(iv)$ 由于$-\vc{v}$恰好是方向相反的$\vc{v}$，其和将为零。
$(v)$ 这个证明的方法是从等号左侧开始，找出其方向和长度。然后对等号右侧做同样的事情。详细内容留给读者作为练习。
$(vi)$ 由于$1$是正数，我们知道$1\vc{v}$和$\vc{v}$具有相同的方向，因此只需要控制它们具有相同的长度。等号左侧的长度为$\abs{1}\,\ln{\vc{v}}=\ln{\vc{v}}$，右侦为$\ln{\vc{v}}$，即它们相同，这证明了该规则。
$(vii)$和$(viii)$ 首先，注意它们之间的区别。在$(vii)$中，我们有标量零乘以$\vc{v}$等于零向量，而在$(viii)$中，我们有标量$k$乘以零向量，等于零向量。$(vii)$实际上在定义2.4中已定义，所以只有$(viii)$需要证明。$k\vc{0}$和$\vc{0}$的长度都是零，这证明了该规则。
$(ix)$ 首先，我们请读者参阅交互式插图2.12。确保按前进直到插图的最后一个阶段。正式证明(分配律)在插图之后。

交互式插图2.12：这个插图帮助展示规则$k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v}$。首先，我们简单地显示两个向量$\vc{u}$和$\vc{v}$，以及它们的和$\vc{u}+\vc{v}$。按前进继续。

交互式插图2.12：最后也显示了向量$\hid{k(\vc{u}+\vc{v})}$。注意较小的三角形$\hid{\triangle O A_1 B_1}$与较大的三角形$\hid{\triangle O A_2 B_2}$相似，因为它们在$\hid{A_1}$和$\hid{A_2}$处有相同的角，并且因为两条边$\hid{\vc{v}}$和$\hid{\vc{u}}$与$\hid{k\vc{v}}$和$\hid{k\vc{u}}$成比例。因此很明显，通过相加$\hid{k\vc{u}}$和$\hid{k\vc{v}}$，我们得到$\hid{k\vc{u}+k\vc{v}}$，它与$\hid{k(\vc{u}+\vc{v})}$相同。回想一下，您可以按下鼠标右键，保持按下并移动鼠标，从另一个视角观察向量加法。对于平板电脑，通过双指滑动来完成同样的操作。

$k=$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u} + \vc{v}$

$k\vc{u}$

$k\vc{v}$

$k(\vc{u} + \vc{v})$

$O$

$A_1$

$A_2$

$B_1$

$B_2$

从标量向量乘法(定义2.4)可得

\begin{align} \ln{k\vc{u}} &= \abs{k}\,\ln{\vc{u}}, \\ \ln{k\vc{v}} &= \abs{k}\,\ln{\vc{v}}, \end{align}

(2.7)

如果$k>0$，则$\vc{u}$和$k\vc{u}$具有相同的方向，$\vc{v}$和$k\vc{v}$也是如此。另一方面，如果$k<0$，则$\vc{u}$和$k\vc{u}$具有相反的方向，$\vc{v}$和$k\vc{v}$也是如此。这意味着由以下三个点集形成的三角形： $\{O$、$O+\vc{u}$、$O+\vc{u}+\vc{v}\}$，与由$\{O$、$O+k\vc{u}$、$O+k\vc{u}+k\vc{v}\}$形成的三角形相似。这两个三角形相似也意味着$O$、$O+\vc{u}+\vc{v}$和$O+k\vc{u}+k\vc{v}$在一条直线上。此外，由于三角形相似，并且由于 (2.7)，我们知道

\begin{equation} \ln{k(\vc{u}+\vc{v})} = \abs{k}\,\ln{\vc{u}+\vc{v}}. \end{equation}

(2.8)

如果$k>0$，则$k(\vc{u}+\vc{v})$与$\vc{u}+\vc{v}$具有相同的方向，如果$k<0$，则它们具有相反的方向。因此，$k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v}$。如果$k=0$，该规则显然为真，这就结束了这个规则的证明。
$(x)$ 这与$(ix)$有些相似，但更简单，因此留给读者。
这就结束了定理2.1的证明。

$\square$

例2.3：三个向量的向量加法
为了理解向量加法如何适用于两个以上的向量，下面的交互式插图2.13展示了三个向量的相加。回想一下向量加法具有结合律，所以我们可以写$\vc{u}+\vc{v}+\vc{w}$而不用任何括号。

交互式插图2.13：这个交互式插图展示了三个向量的相加，左侧显示。向量可以像平常一样移动，交互式插图可以通过点击/触摸前进来前进。

交互式插图2.13：最后，显示了黑色向量，它是三个向量的和。回想一下，左侧的向量可以通过点击靠近向量终点处并在按下时移动鼠标来移动。作为练习，试着让三个向量的和为零，这样右侧就会出现一个三角形。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

能够计算两个点的中点通常是有用的。下面的定理描述了这一点。

定理2.2：中点公式

$A$

$B$

$M$

$O$

假设$M$是连接$A$和$B$之间的线段的中点，如右侧插图所示。假设$O$是另一个点。向量$\overrightarrow{OM}$，即从$O$到$M$的向量，可以写为

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{equation}

(2.9)

证明：

向量$\overrightarrow{OM}$是$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{AM}$的和

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}. \end{equation}

(2.10)

换而言之：如果你从点 $O$ 出发并希望到达点 $M$，可以先从 $O$ 到 $A$，再从 $A$ 到 $M$（等式右边），也可以直接从 $O$ 到 $M$（等式左边）。

通过经由$B$代替，我们得到

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}. \end{equation}

(2.11)

将这两个方程相加得到

\begin{equation} 2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}. \end{equation}

(2.12)

由于$\overrightarrow{BM}$与$\overrightarrow{AM}$等长但方向相反，必须有 $\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{AM}$。将其代入上面的方程并除以二得到

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{equation}

(2.13)

有时您也会看到更简短的记法

\begin{equation} M = \frac{1}{2}(A + B) \end{equation}

(2.14)

$\square$

示例 2.4: 使用中点定理的谢尔宾斯基三角形
我们现在将展示如何使用中点公式生成一个称为谢尔宾斯基三角形的几何图形。假设我们有一个由三个点 $A$、$B$ 和 $C$ 组成的三角形。使用定理 2.2，现在可以计算每条边的中点。这些中点可以连接起来形成四个新三角形,其中中心三角形保持为空。如果对每个新的非空三角形重复这个过程, 我们就得到谢尔宾斯基三角形。这在下面的交互式插图 2.15 中展示。

交互式插图 2.15: 在此插图中,我们将展示如何构造一个称为谢尔宾斯基三角形的几何图形。我们从三个(可移动的)点 $A$、$B$ 和 $C$ 开始,连接它们形成一个三角形。

交互式插图 2.15: 在此插图中,我们将展示如何构造一个称为谢尔宾斯基三角形的几何图形。我们从三个(可移动的)点 $\hid{A}$、$\hid{B}$ 和 $\hid{C}$ 开始,连接它们形成一个三角形。

$A$

$B$

$C$

$M_1 = \frac{1}{2}(A + B)$

$M_2 = \frac{1}{2}(B + C)$

$M_3 = \frac{1}{2}(A + C)$

示例 2.5: 质心公式

$A$

$B$

$C$

$A'$

$O$

$M$

$2$

$1$

$B'$

$2$

$1$

$M$

在三角形 $ABC$ 中,点 $A'$ 位于 $B$ 和 $C$ 之间的中点。从 $A$ 到 $A'$ 的线段称为 $A$ 的中线。设 $M$ 是将 $A$ 的中线按比例 2 比 1 分割的点, 如右侧插图所示。

质心公式表明

\begin{equation} \pvec{OM} = \frac{1}{3}(\pvec{OA} + \pvec{OB} + \pvec{OC}). \end{equation}

(2.15)

此公式可以如下证明。我们可以从 $O$ 直接到达 $M$,或者经过 $A$ 到达,因此

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA} + \pvec{AM}. \end{equation}

(2.16)

It is also possible to arrive at $M$ via $A’$. This gives

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA'} + \pvec{A'M}. \end{equation}

(2.17)

假设之一是 $\pvec{A'M}$ 的长度是 $\pvec{AM}$ 的一半且方向相反, 因此有 $\pvec{A'M} = -\frac{1}{2}\pvec{AM}$。将此代入上面的方程得到

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA'} -\frac{1}{2}\pvec{AM}. \end{equation}

(2.18)

我们可以通过将方程 (2.16) 加到方程 (2.18) 的两倍来消去 $\pvec{AM}$

\begin{equation} \pvec{3OM} = \pvec{OA} + 2\pvec{OA'}. \end{equation}

(2.19)

由于 $A'$ 是 $B$ 和 $C$ 的中点,我们从中点公式知道 $\pvec{OA'} = \frac{1}{2}(\pvec{OB} + \pvec{OC})$。将此代入上面的方程得到

\begin{equation} \pvec{3OM} = \pvec{OA} + 2\cdot\frac{1}{2}(\pvec{OB} + \pvec{OC}), \end{equation}

(2.20)

简化为

\begin{equation} \pvec{OM} = \frac{1}{3}(\pvec{OA} + \pvec{OB} + \pvec{OC}). \end{equation}

(2.21)

这就完成了证明。

注意,由于公式是对称的,它同样适用于 $B$ 的中线。同一点 $M$ 将从 $B$ 到 $B'$ 的中线按比例 $2:1$ 分割。这可以通过在交互式插图中按前进来看到。

这个点也称为质心。如果三角形是从硬纸板上剪下来的,这就是它可以在铅笔尖上保持平衡的点,这解释了"质心"这个名称。此外,如果在点 $A$、$B$ 和 $C$ 处放置相等的点质量,$M$ 就是它们将达到平衡的点。

你们大多数人可能熟悉坐标系统的概念,例如下面交互式插图 2.17 第一步中的地图。在第一步中,坐标轴是垂直的且长度相等, 但这是一个特殊情况,按前进后就可以看到。本节将描述一般坐标系统, 以及向量、基和坐标之间的相互作用。

交互式插图 2.17: 一个带有普通坐标系统的地图。地图的中心标记为原点, 我们将 $x$ 轴显示为水平箭头,将 $y$ 轴显示为垂直箭头。这些轴在局部上类似于经度和纬度,但在全球尺度上不类似,因为地球不是平的。按/点击前进以继续下一阶段。

交互式插图 2.17: 一个带有普通坐标系统的地图。地图的中心标记为原点, 我们将 $\hid{x}$ 轴显示为水平箭头,将 $\hid{y}$ 轴显示为垂直箭头。这些轴在局部上类似于经度和纬度,但在全球尺度上不类似,因为地球不是平的。按/点击前进以继续下一阶段。

$x$

$y$

$x$

$y$

$x$

$y$

$x$

$y$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

接下来,我们定义如何在一维、二维和三维中描述坐标。这是通过下面的一组定理来完成的。

定理 2.3: 一维坐标

$\vc{e}$

$\textcolor{#aa0000}{\vc{v}}$

设 $\vc{e}$ 是一条直线上的一个非零向量。对于线上的每个向量 $\vc{v}$,有且仅有一个数 $x$,使得

\begin{equation} \vc{v} = x \vc{e}. \end{equation}

(2.22)

(右侧图中的向量 $\vc{v}$ 可以移动。)

证明:

如果 $\vc{e}$ 和 $\vc{v}$ 方向相同,则选择 $x=\ln{\vc{v}}/\ln{\vc{e}}$, 如果 $\vc{e}$ 和 $\vc{v}$ 方向相反,则设 $x=-\ln{\vc{v}}/\ln{\vc{e}}$。最后,如果 $\vc{v}=\vc{0}$,则 $x=0$。从标量向量乘法$x\vc{e}$ 的定义可知, $x$ 是满足 $ \vc{v} = x\vc{e}$ 的唯一数。

$\square$

注意,我们称 $\vc{e}$ 为一个基向量, $x$ 是 $\vc{v}$ 在基 $\{\vc{e}\}$ 下的坐标。

到目前为止,这还不是很令人兴奋,但下一步使其变得更有用。

定理 2.4: 二维坐标

$\vc{e}_1$

$\textcolor{#aa0000}{\vc{v}}$

$\vc{e}_2$

$O$

$P_1$

$P_2$

设 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 是两个不平行的向量(它们都位于一个平面中)。对于这个平面中的每个向量 $\vc{v}$,存在唯一的坐标对 $(x,y)$,使得

\begin{equation} \vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2. \end{equation}

(2.23)

(向量 $\vc{v}$、$\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 可以在图中移动。)

证明:

对于这个证明,我们将使用交互式插图 2.19。如图所示,$P_1$ 是通过从 $\vc{v}$ 的端点画一条平行于 $\vc{e}_2$ 的线, 直到它与通过 $\vc{e}_1$ 的线相交而得到的。类似地,$P_2$ 是通过从 $\vc{v}$ 的端点画一条平行于 $\vc{e}_1$ 的线, 直到它与通过 $\vc{e}_2$ 的线相交而得到的。显然有

\begin{equation} \vc{v} = \overrightarrow{O P_1} + \overrightarrow{O P_2}. \end{equation}

(2.24)

现在,设 $\vc{u} = \overrightarrow{O P_1}$ 和 $\vc{w} = \overrightarrow{O P_2}$。对 $\vc{u}$ 使用定理 2.3,以 $\vc{e}_1$ 为基向量, 我们得到 $\vc{u} = x \vc{e}_1$。类似地,对 $\vc{w}$ 以 $\vc{e}_2$ 为基向量, 得到 $\vc{w} = y \vc{e}_2$。因此,向量 $\vc{v}$ 可以表示为

\begin{equation} \vc{v} = \vc{u} + \vc{w} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2. \end{equation}

(2.25)

还需要证明 $x$ 和 $y$ 在 $\vc{v}$ 的表示中是唯一的。如果表示不是唯一的,那么将存在另一个坐标对 $(x',y')$, 使得

\begin{equation} \vc{v} = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2. \end{equation}

(2.26)

结合 (2.25) 和 (2.26),我们得到

\begin{gather} x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2= x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ (x-x') \vc{e}_1 = (y'-y) \vc{e}_2. \end{gather}

(2.27)

从此可得出的结论是,如果存在另一个表示 $(x',y')$,那么 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 将是平行的( (2.27) 的底行)。例如, 如果 $x'$ 与 $x$ 不同,则 $(x-x') \neq 0$,两边都可以除以 $(x-x')$,得到

\begin{gather} \vc{e}_1 = \frac{(y'-y)}{(x-x')} \vc{e}_2, \end{gather}

(2.28)

可以表示为 $\vc{e}_1 = k \vc{e}_2$,其中 $k = \frac{(y'-y)}{(x-x')}$。然而,根据定义 2.4 的推论,这意味着 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 是平行的,这与定理 2.4 中的假设矛盾。如果 $y' - y \neq 0$,同样的推理也适用。因此,我们通过反证法证明了对于每个向量 $\vc{v}$,只有一个唯一的对 $(x,y)$。

$\square$

注意,我们称 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 为基向量, $x$ 和 $y$ 是 $\vc{v}$ 在基 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2\}$ 下的坐标。

接下来,我们将其扩展到三维。

定理 2.5: 三维坐标
设 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 是三个非零基向量, 并且不存在与所有三个向量都平行的平面。对于三维空间中的每个向量 $\vc{v}$,存在唯一的坐标三元组 $(x,y,z)$,使得

\begin{equation} \vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2 + z\vc{e}_3. \end{equation}

(2.29)

证明:

首先按照交互式插图 2.20 将所有向量 $\vc{v}$、$\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 放置为从原点开始。设 $\pi_{12}$ 为通过 $O$ 并包含 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 的平面,设 $P$ 为 $\vc{v}$ 的端点处的点, 即 $\vc{v} = \overrightarrow{OP}$。

$O$

$P_{12}$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

$\vc{e}_3$

$P$

$\pi_{12}$

交互式插图 2.20: 从三个向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 开始,它们的起点都放在点 $O$ 处。

交互式插图 2.20: 总之,从 $\hid{O}$ 到 $\hid{P}$ 可以通过先到达 $\hid{P_{12}}$ 来完成：$\hid{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P}}$。这两项可以使用 $\hid{\overrightarrow{OP_{12}} = x\vc{e}_1 + y \vc{e}_2}$ 和 $\hid{\overrightarrow{P_{12}P} = z\vc{e}_3}$ 来替换。因此 $\hid{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P} = x\vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z\vc{e}_3}$。

从 $P$ 画一条平行于 $\vc{e}_3$ 的线,与平面 $\pi_{12}$ 相交于点 $P_{12}$。现在显然我们可以将 $\vc{v}$ 写为和

\begin{equation} \vc{v} = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P}. \end{equation}

(2.30)

然而,根据定理 2.4(二维),$\overrightarrow{OP_{12}}$ 可以写为 $\overrightarrow{OP_{12}} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2$,根据定理 2.3(一维), $\overrightarrow{P_{12}P}$ 可以写为 $\overrightarrow{P_{12}P} = z \vc{e}_3$。因此,存在三个数 $x$、$y$ 和 $z$,使得

\begin{equation} \vc{v} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z \vc{e}_3. \end{equation}

(2.31)

我们现在必须证明 $x$、$y$ 和 $z$ 是使其成立的唯一数值。假设存在另一组数 $x'$、$y'$、$z'$,也生成同一个向量 $\vc{v}$,即

\begin{equation} \vc{v} = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 + z' \vc{e}_3. \end{equation}

(2.32)

结合 (2.31) 和 (2.32) 得到

\begin{equation} x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z \vc{e}_3 = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 + z' \vc{e}_3. \end{equation}

(2.33)

可以重新整理为

\begin{equation} (x-x') \vc{e}_1 + (y-y') \vc{e}_2 + (z-z') \vc{e}_3 = 0. \end{equation}

(2.34)

如果新的一组 ($x'$, $y'$, $z'$) 与另一组 ($x$, $y$, $z$) 不同,则至少有一项现在必须不为零。假设是 $(x-x')$(否则,重命名向量和标量使其成为这一项)。这意味着我们可以除以 $(x-x')$ 得到

\begin{equation} \vc{e}_1 = - \frac{(y-y')}{(x-x')} \vc{e}_2 - \frac{(z-z')}{(x-x')}\vc{e}_3, \end{equation}

(2.35)

也可以表示为

\begin{equation} \vc{e}_1 = \alpha \vc{e}_2 + \beta \vc{e}_3, \end{equation}

(2.36)

其中 $\alpha = - \frac{(y-y')}{(x-x')}$ 和 $\beta = - \frac{(z-z')}{(x-x')}$。然而,这意味着 $\vc{e}_1$ 位于与 $\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 相同的平面中(参见定理 2.4), 这与不存在与 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 都平行的平面的假设矛盾。因此不能存在任何其他的一组值 $x'$、$y'$、$z'$ 满足该方程,因此证明完成。

$\square$

与之前类似,我们称 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 为基向量, $x$、$y$ 和 $z$ 是 $\vc{v}$ 在基 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2,\vc{e}_3\}$ 下的坐标。

现在,我们终于可以看到使用坐标的向量表示来自哪里。如果我们假设使用某个基 $\{\vc{e}_1, \vc{e}_2, \vc{e}_3\}$,那么我们可以将三维向量 $\vc{v}$ 写为

\begin{equation} \vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}, \end{equation}

(2.37)

其中我们使用 $v_x$ 而不是 $x$,$v_y$ 而不是 $y$,$v_z$ 而不是 $z$。这是为了更简单地混合几个不同的向量,并仍然能够访问单个分量。注意,右边的表达式将向量显示为三个数的列,$x$-坐标在顶部, $y$-坐标在中间,$z$-坐标在底部。这是一个如此重要的记号,因此我们将其总结到以下定义中:

定义 2.5: 列向量记号
给定一个基,一个 $n$ 维的列向量 $\vc{v}$(我们使用了 $n\in [1,2,3]$)是一列 $n$ 个标量值。向量的这些标量分量,有时称为向量元素, 可以编号,即 $v_1$、$v_2$ 和 $v_3$, 或者当更方便时我们可以使用 $x$、$y$ 和 $z$ 作为下标。记号为:

\begin{gather} \underbrace{ \vc{u} = \begin{pmatrix} u_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \end{pmatrix}}_{\text{1D vector}}, \spc\spc \underbrace{ \vc{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\text{2D vector}}, \spc\spc \\ \underbrace{ \vc{w} = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}}_{\text{3D vector}}, \end{gather}

(2.38)

其中 $\vc{u} = u_x \vc{e}_1$、$\vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2$ 和 $\vc{w} = w_x \vc{e}_1 + w_y \vc{e}_2 + w_z \vc{e}_3$。

我们还使用一种更紧凑的向量写法,在文本中写向量时很方便, 例如：$\vc{w} = \bigl(w_1,w_2,w_3\bigr)$,其意义与上述相同(注意向量元素之间的逗号)。

根据上面的定义,列向量是我们在本书中主要使用的向量类型。因此,当我们说"向量"时,我们指的是"列向量"。然而,还有另一种向量,即行向量。从名称可以推断, 它简单地是一行标量值,而不是一列标量值。行向量的一个例子是:

\begin{equation} \bigl(1\spc 2\spc 5 \bigr). \end{equation}

(2.39)

任何向量,无论是行还是列,都可以转置,这意味着行向量变成列向量,列向量变成行向量。转置向量的记号为：$\vc{v}^T$。一个例子如下所示:

\begin{equation} \vc{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}, \spc\spc\spc \vc{v}^\T = \bigl(1\spc 2\spc 5 \bigr). \end{equation}

(2.40)

我们在下面的定义中总结向量的转置：

定义 2.6: 向量的转置
向量 $\vc{v}$ 的转置记为 $\vc{v}^\T$, 将列向量变为行向量,将行向量变为列向量。向量分量的顺序保持不变。

注意,有了这个定义,我们可以将一个向量转置两次,并得到相同的向量, 即 $\bigl(\vc{v}^T\bigr)^T = \vc{v}$。接下来,我们也在下面总结行向量定义：

定义 2.7: 行向量记号
行向量表示为转置的列向量,如下所示:

\begin{equation} \underbrace{ \vc{v}^\T = \bigl( v_x \spc v_y \bigr) }_{\text{2D row vector}}, \spc \spc \underbrace{ \vc{w}^\T = \bigl( w_x \spc w_y \spc w_z \bigr) }_{\text{3D row vector}}. \end{equation}

(2.41)

注意,行向量的向量元素之间从不有逗号。这是为列向量的紧凑记法保留的(参见定义 2.5)。

现在,设我们有两个在同一基下的向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$,即

\begin{equation} \vc{u} = u_x \vc{e}_1 + u_y \vc{e}_2 + u_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} \spc\spc \text{and} \spc\spc \vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}. \end{equation}

(2.42)

加法 $\vc{u}+\vc{v}$ 变为:

\begin{align} \vc{u}+\vc{v} &= u_x \vc{e}_1 + u_y \vc{e}_2 + u_z \vc{e}_3 + v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3 \\ &=(u_x+v_x)\vc{e}_1 + (u_y+v_y)\vc{e}_2 + (u_z+v_z)\vc{e}_3 \\ &= \begin{pmatrix} u_x+v_x \\ u_y+v_y \\ u_z+v_z \end{pmatrix}. \end{align}

(2.43)

如所见,向量加法归结为简单的按分量标量加法。对于标量向量乘法 $k\vc{v}$,我们有:

\begin{align} k\vc{v} &= k (v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3) \\ &= (k v_x) \vc{e}_1 + (k v_y) \vc{e}_2 + (k v_z) \vc{e}_3\\ &= \begin{pmatrix} k v_x \\ k v_y \\ k v_z \end{pmatrix}, \end{align}

(2.44)

在这里我们看到向量的每个分量都乘以 $k$。

示例 2.6: 使用坐标的向量加法和标量乘法
假设我们在同一基下有以下向量:

\begin{equation} \vc{u} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ -4 \\ 7 \end{array} \right), \spc \spc \vc{v} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right), \spc \spc \text{and} \spc \spc \vc{w} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right), \end{equation}

(2.45)

现在我们想计算 $\vc{u} + \vc{v} - 2\vc{w}$。如我们上面所见,向量加法简单地是将向量元素相加:

\begin{equation} \vc{u}+\vc{v} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ -4 \\ 7 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 3+1 \\ -4+2 \\ 7+5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 12 \end{array} \right). \end{equation}

(2.46)

我们也可以用一个标量值缩放向量,例如 $k=2$:

\begin{equation} 2\vc{w} = 2 \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2\cdot 2 \\ 2\cdot (-1) \\ 2\cdot 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 12 \end{array} \right), \end{equation}

(2.47)

这意味着 $\vc{u} + \vc{v} - 2\vc{w} = \vc{0}$。

在许多计算中,人们使用一个简单直观的基,称为标准基,定义如下。

定义 2.8: 标准基
本书中的标准基对于二维和三维如下,即

\begin{gather} \underbrace{ \vc{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }_{\mathrm{two-dimensional\ standard\ basis}} \ \ \mathrm{and} \\ \ \\ \underbrace{ \vc{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. }_{\mathrm{three-dimensional\ standard\ basis}} \end{gather}

(2.48)

一般地,对于 $n$ 维标准基,基向量 $\vc{e}_i$ 的向量元素全部为零,除了第 $i$ 个元素为 1。

在第 3 章中,我们将讨论不同类型的基,我们将看到标准基实际上是一个正交规范基(第 3.3 节)。

示例 2.7: 标准基中的加法
在此示例中,我们将说明如何在标准基中进行向量加法, 以增强读者对加法的直觉理解。参见交互式插图 2.21。回想一下,二维的标准基向量是 $\vc{e}_1=(1,0)$ 和 $\vc{e}_2=(0,1)$。

交互式插图 2.21: 这里显示了标准基中的两个向量。点击/触摸前进继续。

交互式插图 2.21: 蓝色向量的坐标简单地是红色和绿色向量相应坐标的和。例如,蓝色向量的 $\hid{x}$-坐标简单地是红色和绿色向量的 $\hid{x}$-坐标的加法。回想一下,可以通过点击/触摸红色或绿色向量端点附近并拖动来移动向量。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u}+\vc{v}$

接下来,将给出两个关于坐标系统、基向量、唯一性和坐标主题的直观示例。

示例 2.8: 在不同基中表示的同一点
注意,当使用不同的基向量时,同一点将具有不同的坐标, 如交互式插图 2.22 所示。请注意在插图中, 当基向量改变时,坐标也改变,但点始终保持在同一位置。

交互式插图 2.22: 这里我们展示同一点 $P$ 如何在不同的坐标系统中表示。在第一步中,我们有一个普通的坐标系统,其中第一个基向量 $\vc{e}_1$ (粗红色箭头)和第二个基向量 $\vc{e}_2$(绿色粗箭头)成直角, 并且它们长度相等。坐标 $(2,1)$ 意味着如果我们从原点开始,沿 $\vc{e}_1$ 走两步,沿 $\vc{e}_2$ 走一步, 结果是我们到达 $P$。

交互式插图 2.22: 这是另一个例子,其中 $\hid{P}$ 的坐标等于 $\hid{(3,1)}$。注意, 你可以移动两个基向量和 $\hid{P}$,同时坐标会相应调整。还要注意,如果你放置两个基向量使它们几乎平行,那么坐标开始剧烈和不规则地上升。这是有道理的,因为如果向量确实完全平行, 你将只能表示从原点沿着第一个基向量的线上的点 (或者第二个,这是等价的)。如果它们略有不同,这个小差异必须用一个很大的数来增强才能到达 $\hid{P}$。

$O$

$P = $

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

示例 2.9: 关于唯一性的直觉
回到交互式插图 2.22的第二阶段, 很明显,将两个基向量相加正好得到向量 $\overrightarrow{OP}$,因此 $\overrightarrow{OP} = 1.0 \vc{e}_1 + 1.0 \vc{e}_2$ 必然成立。因此,$(1, 1)$ 是点 $P$ 的一个有效坐标对。然而,人们可能会问,既然基向量不再需要成直角, 是否还有其他坐标也能描述点 $P$。答案是否定的, 正如我们在定理 2.4的证明中所看到的。关于为什么是这样的更多直觉,可以从交互式插图 2.23中获得。

交互式插图 2.23: 在这个交互图形中,粗箭头表示基向量 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$。点 $P$ 的坐标为 $(2.5, 1.0)$,因为如果你从原点出发,需要沿 $\vc{e}_1$ 走 $2.5$ 步(细红色箭头),沿 $\vc{e}_2$ 走一步 (细绿色箭头)才能到达 $P$。但其他坐标也能工作吗?点击前进继续演示。

交互式插图 2.23: 在这个交互图形中,粗箭头表示基向量 $\hid{\vc{e}_1}$ 和 $\hid{\vc{e}_2}$。点 $\hid{P}$ 的坐标为 $\hid{(2.5, 1.0)}$,因为如果你从原点出发,需要沿 $\hid{\vc{e}_1}$ 走 $\hid{2.5}$ 步(细红色箭头),沿 $\hid{\vc{e}_2}$ 走一步 (细绿色箭头)才能到达 $\hid{P}$。但其他坐标也能工作吗?点击前进继续演示。

在本章中,我们已经介绍了向量的概念。第 2.5 节中关于向量的定义以及基本运算,如向量加法(定义 2.3) 和标量乘法(定义 2.4), 都是从几何角度定义的。然后我们展示了这两个运算满足定理 2.1中的若干性质。这个定义适用于 $\R^1$、$\R^2$ 和 $\R^3$。对于更高的维度,我们很难使用几何定义。二维和三维向量的概念本身非常有用,但几何向量也是理解一般线性空间或向量空间的基础。当我们有三个以上的未知参数时,这种更一般的理论对于建模和理解问题非常有用。读者可能希望跳过以下节,根据自己的需要稍后再回顾。

在本节中,我们将首先给出 $\R^n$ 的定义。

定义 2.9: 实数坐标空间
向量空间 $\R^n$ 定义为 $n$ 元组 $\vc{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$, 其中每个 $u_i$ 都是实数。它是实数 $\R$ 上的向量空间,其中向量加法 $\vc{u}+\vc{v}$ 定义为 $\vc{u}+\vc{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)$, 标量-向量乘法定义为 $k\vc{v} = (k v_1, k v_2, \ldots, k v_n)$,其中 $k\in \R$。

注意,使用这些向量加法和标量-向量乘法的定义,定理 2.1的所有性质都成立。

示例 2.10:
设 $\vc{u}=(1,2,3,4,5)$ 和 $\vc{v}=(5,4,3,2,1)$ 为 $\R^5$ 中的两个向量。$\vc{u}+\vc{v}$、$3\vc{u}$ 和 $3\vc{u}+3\vc{v}$ 是什么?

\begin{equation} \vc{u}+\vc{v} = (1,2,3,4,5) + (5,4,3,2,1) = (1+5,2+4,3+3,4+2,5+1) = (6,6,6,6,6) \end{equation}

(2.49)

\begin{equation} 3\vc{u}= 3(1,2,3,4,5) = (3 \cdot 1,3 \cdot 2,3 \cdot 3,3 \cdot 4,3 \cdot 5) = (3,6,9,12,15) \end{equation}

(2.50)

\begin{equation} 3\vc{u}+3\vc{v} = 3 (\vc{u}+\vc{v}) = 3 (6,6,6,6,6) = (18,18,18,18,18) \end{equation}

(2.51)

在最后一步中,使用了方程 (2.49)的结果 ($\vc{u}+\vc{v}$)。

定义 2.10: $\R^n$ 中的基
$\R^n$ 中的一个基是向量集合 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$,使得对于每个向量 $\vc{u}\in\R^n$, 存在唯一的坐标集 $(u_1, \ldots, u_m)$ 满足

\begin{equation} \vc{u} = \sum_{i=1}^m u_i \vc{e}_i. \end{equation}

(2.52)

例 2.11： $\R^n$ 的标准基
$\R^n$ 中的标准基是以下基向量集合

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} \vc{e}_1 &= (1, 0, \ldots, 0), \\ \vc{e}_2 &= (0, 1, \ldots, 0), \\ \vdots & \\ \vc{e}_n &= (0, 0, \ldots, 1). \end{array} \end{cases} \end{equation}

(2.53)

2.6.1 一般定义

我们现在将给出向量空间的抽象定义。然后我们将证明,任何 $\R$ 上的有限维向量空间实际上与我们在定义 2.9中定义的 $\R^n$ '相同'。

定义 2.11: 向量空间
一个向量空间由一个对象集合 $V$(称为向量)和一个域 $F$ 组成,连同向量加法和标量与向量乘法的定义,使得定理 2.1的性质成立。

向量空间由一个对象集合 $V$ 组成。正如我们在一个例子中将看到的,向量空间是大小为 $m \times n$ 像素的图像集合。在另一个例子中,向量空间是次数不超过 5 的多项式集合。域 $F$ 的元素称为标量。域是一个对象集合,其中加法、减法、乘法和除法都是良好定义的并遵循通常的性质。最常用的域是实数集 $\R$ 或复数集 $\mathbb{C}$,但也可以使用更奇特的域,例如模素数的整数,如 $\mathbb{Z}_3$。

示例 2.12: 次数不超过2的多项式
具有实数系数的 $x$ 的次数不超过2的多项式是 $\R$ 上的一个向量空间。这里如果 $u = u_0 + u_1 x + u_2 x^2$ 和 $v = v_0 + v_1 x + v_2 x^2$,其中每个系数 $u_i$ 和 $v_i$ 都是实数。这里向量加法 $u+v$ 定义为 $ u+v = (u_0+v_0) + (u_1+v_1) x + (u_2+v_2) x^2 $, 标量-向量乘法定义为 $ku = k u_0 + k u_1 x + k u_2 x^2$。

示例 2.13: 灰度图像
灰度图像,其中每个像素强度是一个实数,是 $\R$ 上的一个向量空间。这里如果图像 $u$ 在位置 $(i,j)$ 的像素具有强度 $u_{i,j}$, 类似地,如果图像 $v$ 在位置 $(i,j)$ 的像素具有强度 $v_{i,j}$, 那么向量加法定义为一个图像 $u+v$,其中位置 $(i,j)$ 的像素强度为 $u_{i,j}+v_{i,j}$。标量-向量乘法定义为图像 $ku$,其中位置 $(i,j)$ 的像素具有强度 $k u_{i,j}$。

示例 2.14: $\mathbb{Z}_3$ 坐标空间
向量空间 $\mathbb{Z}_3^n$ 定义为 $n$ 元组 $ \vc{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$, 其中每个 $u_i$ 是整数 $0$、1 或 2 之一。它是整数 0、1 和 2 上的向量空间。向量加法 $\vc{u}+\vc{v}$ 定义为 $ \vc{u}+\vc{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)$, 标量-向量乘法定义为 $k\vc{v} = (k u_1, k u_2, \ldots, k u_n)$。这里两个标量的乘法和加法都是模 3 进行的。

定义 2.12: 向量空间中的基
在域 $F$ 上的有限维向量空间 $V$ 中的一个基是向量集合 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$,使得对于每个向量 $\vc{u} \in V$, 存在唯一的坐标集 $(u_1, \ldots, u_m)$(其中 $u_i \in F$)满足

\begin{equation} \vc{u} = \sum_{i=1}^m u_i \vc{e}_i. \end{equation}

(2.54)

基向量的数量 $m$ 被称为向量空间的维数。我们将在后面证明,对于给定的向量空间,这是一个良好定义的数。

定理 2.6: 向量空间中的向量
设 $V$ 为 $\R^m$ 上的一个向量空间,并设 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$ 为一个基。那么每个向量 $\vc{u}$ 可以用其坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$ 来识别。

以这种方式,可以粗略地说,每个 $\R$ 上的 $m$ 维向量空间与 $\R^m$ '相同'。

本章处理了向量概念,并介绍了向量加法和标量向量乘法运算。此外,我们已经看到这些运算的表现几乎符合预期, 即,类似于我们如何用实数计算。为了使向量更加实用,引入了基概念, 并且我们看到了例如三维向量如何可以用相对于某个基的三个标量数来表示。最后,我们还非常简要地介绍了高维向量空间 $\R^n$ 的概念。在第 3 章中,将介绍点积运算。它在测量长度和角度时很有用。

第2章：向量

2.1 点和向量

2.2 向量加法

2.3 标量向量乘法

2.4 向量运算的性质

2.5 向量基和坐标

2.6 三维以上的向量空间

2.6.1 一般定义

2.7 总结

2.6.1 一般定义