第3章：点积

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本章介绍一个强大的工具，称为点积。 它是计算机图形学中的基本构建块之一， 在交互式插图 3.1中， 有一个计算机图形学程序称为光线追踪器。光线追踪器的思想是生成一组几何对象的图像 （在下面的情况中，只有球体）。这些对象由 多个位于三维位置的光源照明。用户还必须 设置一个虚拟相机，即相机位置和视野，以及相机的方向（即它朝向哪里）。然后光线追踪器从相机位置沿相机方向追踪光线，穿过 相机图像平面中的一组像素。程序然后找到最近的几何对象， 并确定是否有任何光线从光源直接到达该点（否则，它将处于阴影中）。 也可以追踪反射光线以创建反射对象（例如 交互式插图 3.1中的中间球体）。 通过按下插图下方的开始按钮来试用光线追踪程序。 在上面的光线追踪程序中，点积被用于计算光线与球体之间的相交， 并且点积还被用于测量到相交点的长度。 此外，用于计算反射对象的反射定律是使用点积实现的。 当读者了解点积如何工作时，这两个主题将在第 3.7 节中再次解释。

一般来说，点积实际上是关于度量，即如何测量向量的角度和长度。 下面是关于角度和长度的两个简短小节，然后是本章的主要小节， 它定义和阐明点积，并且包括例如 第 3.2.3 节中点积的规则和性质。 第 3.3 节介绍了标准正交基的概念， 在第 3.4 节中，介绍了一组常常有用的不等式。 第 3.5 节展示了一些关于如何使用点积的例子。然后是 关于直线和平面的一节，最后是关于光线追踪的后续小节。

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一个向量 $\vc{u}$ 和另一个向量 $\vc{v}$ 之间的最小角度 记为 $[\vc{u},\vc{v}]$。 右侧展示了向量对之间的最小角度，用绿色圆弧表示， 在一种情况下，角度用绿色正方形表示。在后一种情况下， 角度是 $90^\circ$ 或 $\pi/2$ 弧度，即 $[\vc{u},\vc{v}]=\pi/2$。 这也记为 $\vc{u} \perp \vc{v}$，表示向量是正交的， 也就是垂直。 注意左下角的角度是 $0$，底行中间的角度是 $\pi$ 弧度。在这两种情况下，可以说向量是 共线的，因为它们位于共享的直线上，并且它们实际上也是平行的。 在左下角，向量是平行的并且具有相同的方向，而 在底行中间，向量是平行的但具有相反的方向。 当两个向量平行时，记为 $\vc{u}\, || \,\vc{v}$。 还要注意，如果 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 平行，那么对于某个值 $k$，必须满足 $\vc{v} = k \vc{u}$。

我们现在准备好了点积本身的定义：

回顾第2章，$||\vc{v}||$ 表示向量 $\vc{v}$ 的长度。 由于向量的长度总是正数， 点积将是正数当且仅当 $\cos[\vc{u},\vc{v}]$ 是正数。 从中我们可以推导出以下关于点积的规则

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v}>0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \ 0 < [\vc{u},\vc{v}] < \pi/2,\\ \vc{u} \cdot \vc{v}<0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \ \pi/2 < [\vc{u},\vc{v}] \leq \pi, \\ \vc{u} \cdot \vc{v}=0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \vc{u} \perp \vc{v}, \mathrm{\ 即\ } [\vc{u},\vc{v}]=\pi/2 \mathrm{\ 或\ } \vc{u} = 0 \mathrm{\ 或\ } \vc{v} = 0. \\ \end{align}

(3.2)

特别是最后一个很重要：如果两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 彼此正交（垂直），那么 $\vc{u}\cdot \vc{v} = 0$。正如我们在本章后面将看到的，正交性 是一个有用的特征，它常常简化计算。

注意点积产生一个标量值，因此，它有时被称为标量积。

3.2.1 单位向量与标准化

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单位向量是长度为 1 的向量，即如果 $\ln{\vc{v}}=1$，那么 $\vc{v}$ 是单位向量。 从每个非零向量 $\vc{v}$ 都可以创建一个单位向量。这被称为标准化向量， 这个过程称为标准化。 标准化向量 $\vc{n}$ 是通过将 $\vc{v}$ 除以其长度 $\ln{\vc{v}}$ 从 $\vc{v}$ 创建的，即

\begin{equation} \vc{n} = \frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}. \end{equation}

(3.4)

接下来，我们需要证明 $\vc{n}$ 确实是一个单位向量，即 $\ln{\vc{n}}=1$。让我们记 $l=1/\ln{\vc{v}}$， 并简化 $\vc{n}$ 的长度表达式为 $\ln{\vc{n}} = \ln{l\vc{v}} = \abs{l}\,\ln{\vc{v}}=\frac{1}{\ln{\vc{v}}}\ln{\vc{v}}=1$。

注意如果两个向量都是标准化的，即 $\ln{\vc{u}}=\ln{\vc{v}}=1$， 点积简化为 $\vc{u} \cdot \vc{v} = \cos[\vc{u},\vc{v}]$。 这个事实在计算机图形学的着色计算中非常有用，其中经常需要两个向量之间角度的余弦值。 实际上，在交互式插图 3.1中，标准化向量在光线追踪和着色中被广泛使用。

3.2.2 投影

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从三角学知道，在直角三角形中，其中一个较小角度的余弦值 与斜边和其中一条较短边的长度有关。 更确切地说，这可以表示为

\begin{equation} \cos \theta= \frac{a}{c}, \end{equation}

(3.5)

其中 $c$ 是斜边的长度，$a$ 是与斜边成 $\theta$ 角的较短边的长度。这也在右图中有所说明。 因此，在这些非常特殊的情况下，如果已知两个长度 $a$ 和 $c$，就可以计算出角度。 或者，如果已知角度和一边的长度，也可以计算出另一边的长度。

假设一个向量 $\vc{u}$ 需要正交投影到另一个向量 $\vc{v}$ 上，以便 创建一个新的向量 $\vc{w}$。这在右图中有所说明。 由于 $\vc{u}$ 和 $\vc{w}$ 构成了一个直角三角形， 因此必须满足：$\cos [\vc{u},\vc{v}] = \ln{\vc{w}} / \ln{\vc{u}}$，这 只是上述公式 (3.5) 的简单应用。这意味着 $\vc{w}$ 的长度 为 $\ln{\vc{w}} = \ln{\vc{u}}\cos [\vc{u},\vc{v}]$。如果 $\vc{v}$ 的长度为1，即 $\ln{\vc{v}}=1$， 那么投影向量可以计算为

\begin{equation} \vc{w} = \ln{\vc{w}}\ \vc{v} = \ln{\vc{u}} \cos [\vc{u},\vc{v}]\ \vc{v}. \end{equation}

(3.6)

为了确信 $\ln{\vc{w}}\vc{v}$ 确实等于 $\vc{w}$，请注意它既有正确的方向（$\vc{v}$ 的方向， 因为 $\ln{\vc{w}}$ 只是一个标量），也有正确的 长度（即 $\ln{\vc{w}}$，因为 $\vc{v}$ 的长度等于1）。 然而，如果能处理 $\vc{v}$ 的长度不为1的情况就更好了。 这可以通过对向量 $\vc{v}$ 进行标准化来实现，即将其乘以 $\frac{1}{\ln{\vc{v}}}$，这将使其长度为1。 如果在上述公式 (3.6) 中将 $\vc{v}$ 替换为 $\frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}$，就可以得到

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\ln{\vc{u}} \cos [\vc{u},\vc{v}]}{\ln{\vc{v}}} \vc{v}. \end{equation}

(3.7)

这里，我们利用了标准化不会改变方向这一事实， 因此我们可以继续使用 $\cos[\vc{u},\vc{v}]$ 而不是 $\cos[\vc{u}, \frac{\vc{v}}{\ln{v}}]$。 接下来，将分子和分母都乘以 $\ln{\vc{v}}$，这就得到了通用的正交投影公式

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\ln{\vc{u}}\ \ln{\vc{v}} \cos [\vc{u},\vc{v}] }{ \ln{\vc{v}}^2 } \vc{v}. \end{equation}

(3.8)

最后这一步的原因是，分子 $\ln{\vc{u}}\ \ln{\vc{v}} \cos[\vc{u},\vc{v}]$ 现在 正好等于点积的定义。因此我们可以将公式写得更简洁

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\vc{u} \cdot \vc{v} }{ \ln{\vc{v}}^2 } \vc{v}. \end{equation}

(3.9)

因此我们证明了以下公式：

3.2.3 规则与性质

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借助定义和投影公式，现在 可以推导出以下规则：

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定理 3.1 中的规则是直观的，因为它们与标量加法和标量乘法的规则相同。 在第 3.5 节中，将介绍几个如何使用这些规则的例子。

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本节将介绍一种计算点积的简单方法。假设我们有两个三维向量 $\vc{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 和 $\vc{v} = (v_1, v_2, v_3)$，它们在同一个基下表示

\begin{align} \vc{u} & = u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 + u_3 \vc{e}_3,\\ \vc{v} & = v_1 \vc{e}_1 + v_2 \vc{e}_2 + v_3 \vc{e}_3. \end{align}

(3.20)

点积 $\vc{u} \cdot \vc{v}$ 现在可以写为

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v} & = (u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 + u_3 \vc{e}_3) \cdot (v_1 \vc{e}_1 + v_2 \vc{e}_2 + v_3 \vc{e}_3),\\ \end{align}

(3.21)

它可以展开为

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v} & = u_1 v_1 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_1 + u_1 v_2 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_2 + u_1 v_3 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_3 \\ & + u_2 v_1 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_1 + u_2 v_2 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_2 + u_2 v_3 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_3 \\ & + u_3 v_1 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_1 + u_3 v_2 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_2 + u_3 v_3 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_3. \end{align}

(3.22)

这看起来又长又复杂。然而，假设当 $i \neq j$ 时 $\vc{e}_i \cdot \vc{e}_j$ 为 $0$。这等价于说 每个基轴与其他每个基轴都正交。那么除了 三项以外的所有项都会消失。 进一步假设对所有 $i$ 都有 $\vc{e}_i \cdot \vc{e}_i = 1$。这等价于 说每个基向量的长度应该为1。 剩下的项也可以简化，得到

\begin{equation} \vc{u} \cdot \vc{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3. \end{equation}

(3.23)

现在我们准备在任意维度下定义正交规范基。

我们还将简化的点积推广到任意维度的向量：

请注意，上面使用了两种不同的向量分量索引方式，例如，回顾一下 $\vc{v}=(v_1, v_2, v_3) = (v_x, v_y, v_z)$。

对于 $\R^1$、$\R^2$ 和 $\R^3$ 中的向量，角度的概念是自然的。我们使用这个概念根据（定义 3.1）来定义标量积。如果基是正交规范的，我们可以得到上述简单公式 $\vc{u} \cdot \vc{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 $ 来计算标量积。对于更高维度的向量，不存在角度的概念。在正交规范基的情况下，解决方案是使用定义 3.4 中标量积的简单公式，然后从标量积中推导角度的概念。两个非零向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 之间的角度如下所示。

现在，让我们通过一个简单的例子来说明简单的点积计算（定义 3.4）是如何工作的：

为了更直观地感受点积提供的信息，鼓励读者尝试 下面的交互插图 3.8。

3.3.1 正交规范基中的向量长度

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正如我们已经看到的，将向量表示在正交规范基中可以简化它们的点积计算。 在本节中，将明确地看到 它也简化了向量的长度计算，长度记为 $\ln{\vc{v}}$。 这也称为幅值和范数。

回顾定理 3.1 中的规则 $(iv)$，它说 $\vc{v}\cdot\vc{v} = \ln{\vc{v}}^2$。 如果向量在正交规范基中的坐标为 $(v_x, v_y)$，我们可以使用简单公式（定义 3.4） 来计算点积，我们有 $\ln{\vc{v}}^2 = v_x^2 + v_y^2$。在右侧的上图中，我们 画出了向量 $\vc{v}$。由于值 $v_x$ 和 $v_y$ 是 $\vc{v}$ 的坐标，它们也等于 虚线的长度。请注意这张图如何与下面的三角形相类似，其中 $c = \ln{\vc{v}}$， $a = v_x$ 和 $b = v_y$。因此表达式 $\ln{\vc{v}}^2 = v_x^2 + v_y^2$ 是勾股定理的证明，该定理表述为 $c^2 = a^2 + b^2$。

因此，在正交规范基中，向量的长度可以计算为

\begin{equation} \ln{\vc{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}. \end{equation}

(3.32)

同样，对于在正交规范基中的三维向量 $\vc{v} = (v_x, v_y, v_z)$， 点积 $\vc{v} \cdot \vc{v} = \ln{\vc{v}}^2$ 可以计算为 $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$， 因此向量长度计算为

\begin{equation} \ln{\vc{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}. \end{equation}

(3.33)

在这种情况下，也可以使用勾股定理来从几何上解释为什么这个公式是正确的，如 交互插图 3.10 所示。 注意，通常了解当向量被因子 $k$ 缩放时，其 长度 会发生什么变化是很方便的。 使用 点积 的定义，我们可以得到

\begin{equation} (k\vc{v})\cdot(k\vc{v}) = \ln{k\vc{v}}\,\ln{k\vc{v}}\cos[k\vc{v},k\vc{v}] = \ln{k\vc{v}}^2. \end{equation}

(3.34)

也可以使用规则 $(ii)$ 两次以得到

\begin{equation} (k\vc{v})\cdot(k\vc{v}) = k ( \vc{v}\cdot(k\vc{v})) = k(k(\vc{v}\cdot\vc{v})) = k^2 \ln{\vc{v}}^2. \end{equation}

(3.35)

因此，我们有

\begin{equation} \ln{k\vc{v}}^2 = k^2 \ln{\vc{v}}^2, \end{equation}

(3.36)

这给出

\begin{equation} \ln{k\vc{v}} = \abs{k}\, \ln{\vc{v}}. \end{equation}

(3.37)

请注意，只有零向量的 长度为零，即 $\ln{\vc{0}} = 0$，并且如果 $\vc{v}\neq\vc{0}$ 则 $\ln{\vc{v}}>0$。

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以下是数学中一些非常有用的不等式。它们是点积章节的一部分， 因为它们很容易使用点积的定义来证明。

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另一个相关的不等式是下面显示的三角不等式。

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请注意，三角不等式的几何意义很容易理解，如右图所示。 从图中可以清楚地看到，$\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的长度之和必定大于或等于 $\vc{u}+\vc{v}$ 的长度。实际上，只有当 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 平行且方向相同时，等号才能成立。 建议读者移动 $\vc{u}$ 向量来验证这一点。

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在本节中，我们将展示一些有用的例子， 并指出使用了哪些规则来 得到结果。规则会标注在等号上方，例如，

\begin{equation} \vc{a} \cdot (\vc{a}+\vc{b}) \overset{(iii)}{=} \vc{a} \cdot \vc{a} + \vc{a} \cdot \vc{b}, \end{equation}

(3.48)

表示使用了规则 $(iii)$ (定理 3.1) 来 得到等号右边的结果。 接下来的例子推导平行四边形法则。

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直线和平面是非常常见且重要的几何实体，在许多情况下都很有用，例如当确定来自虚拟眼睛的光线（即直线）穿过像素中心是否击中球体等几何对象时。更广泛地说，直线和平面在计算几何、计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）等领域中经常使用。

3.6.1 直线

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在本书中，主要使用直线，因此经常使用更简短的术语直线。 一条直线可以用一个起点 $S$ 和一个方向 $\vc{d}$ 来描述， 如右图所示。 要描述一条直线，使用能够找到所有可能点的表示方法可能会很方便。 首先，从右侧的点 $P$ 开始，创建一个从 $S$ 到 $P$ 的向量， 即 $\overrightarrow{SP}$。如果 $P$ 位于由 $S$ 和 $\vc{d}$ 描述的直线上，那么 $\overrightarrow{SP}$ 必定平行于 $\vc{d}$。实际上，必定存在一个标量 $t_1$，使得 $t_1\vc{d}$ 的长度恰好等于 $\overrightarrow{SP}$，表示为

\begin{equation} \overrightarrow{SP} = t_1 \vc{d}. \end{equation}

(3.55)

由于 $P$ 位于 $\vc{d}$ 的方向上，我们也知道 $t_1>0$。对于同样 位于直线上的 $Q$，存在另一个标量 $t_2$，满足：$\overrightarrow{SQ} = t_2 \vc{d}$。 由于 $Q$ 位于 $\vc{d}$ 的相反方向上，显然 $t_2<0$。 另一方面，对于 $R$，不存在标量 $t_3$ 满足类似的关系。也就是说， 对于所有 $t_3$ 的值，$\overrightarrow{SR} \neq t_3 \vc{d}$。 $P$ 和 $Q$ 之间的唯一区别是它们使用了不同的标量 $t_1$ 和 $t_2$。 因此，直线上的任何点都可以用一个特定的标量 $t$ 来描述。 因此，我们使用 $P(t)$ 来表示标量 $t$ 的函数，它返回一个点 $P$。也就是说， 对于不同的 $t$ 值，将生成不同的点 $P$。这个表达式可以改写为

\begin{gather} \overrightarrow{SP(t)} = t\vc{d} \\ \Longleftrightarrow \\ P(t) - S = t\vc{d} \\ \Longleftrightarrow \\ P(t) = S + t\vc{d}. \end{gather}

(3.56)

注意，直线上的所有点 $P(t)$ 都可以通过从 $S$ 开始，然后加上一个缩放的方向向量 $t\vc{d}$ 来描述，从而到达 $P(t)$。一些例子：$P(0) = S$，$P(1) = S + \vc{d}$，以及 $P(-2.5) = S -2.5\vc{d}$。 这种参数化的直线在下面的定义中总结。

通常称上述直线为显式形式，这仅仅意味着直线上的点 $P(t)$ 可以直接从表达式生成。一维、二维和三维的 显式形式直线可以在下面的交互插图 3.15 中找到。 注意，对直线 $P(t)-S = t\vc{d}$ 两边取长度，得到 $\ln{P(t)-S} = \ln{t\vc{d}}$。 当直线方向被归一化，即 $\ln{\vc{d}}=1$ 时，则 $\abs{t} = \ln{P(t)-S}$。这在计算 例如直线与球体之间的交点时非常有用，这将在 第 3.7 节中看到。

回顾一下，二维点 $S$ 有两个标量分量 $(s_x, s_y)$，类似地， 二维向量 $\vc{d}$ 有两个标量分量 $(d_x,d_y)$。现在，注意 二维直线 $P(t)=S + t\vc{d}$ 可以用向量和点的标量分量表示为

\begin{equation} P(t) = S + t\vc{d} \ \ \ \Longleftrightarrow \begin{cases} p_x(t) = s_x + td_x,\\ p_y(t) = s_y + td_y. \end{cases} \end{equation}

(3.58)

以下内容可以让我们初步了解第5章关于高斯消元法的内容。将上面的第一行乘以 $d_y$，将第二行乘以 $d_x$。这导致以下结果，其中为了清晰起见，从 $p_x$ 和 $p_y$ 中省略了参数 $t$：

\begin{equation} \begin{cases} p_x d_y = s_x d_y + d_x d_y t,\\ p_y d_x = s_y d_x + d_x d_y t. \end{cases} \end{equation}

(3.59)

从代数中我们知道， 只要在两边减去相同的项，就可以从表达式中减去一个项。 因此，从第一行减去第二行是合法的，这导致

\begin{equation} p_x d_y - p_y d_x = s_x d_y - s_y d_x + d_x d_y t - d_x d_y t = s_x d_y - s_y d_x \\ \Longleftrightarrow \\ d_yp_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0, \end{equation}

(3.60)

如所见，$t$ 项从表达式中消失了。 这可以进一步改写为

\begin{equation} d_y p_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0 \\ \Longleftrightarrow \\ a p_x + b p_y + c = 0, \end{equation}

(3.61)

其中 $a=d_y$，$b=-d_x$，$c=s_y d_x - s_x d_y$。 这个方程可能对某些人来说很熟悉，特别是如果我们使用 $x=p_x$ 和 $y=p_y$，这给出

\begin{equation} a x + b y + c = 0. \end{equation}

(3.62)

对于 $b\neq 0$，可以进一步将上面的表达式改写为 $y =(-ax -c)/b=$ $kx+m$，其中 $k=-a/b$ 和 $m=-c/b$。这种直线的表达式对大多数人来说肯定很熟悉， 其中 $k$ 描述了当 $x$ 增加 1 时 $y$ 的变化量， $m$ 是 $x=0$ 时的 $y$ 值。 但是请注意，$a x + b y + c = 0$ 是二维 直线更一般的描述，因为它可以描述垂直直线， 而 $y=kx+m$ 无法做到这一点。

重要的是要注意，直线的隐式形式 $a p_x + b p_y + c = 0$ 和 直线的显式形式 $P(t) = S + t\vc{d}$ 精确地描述了同一条直线， 因为前者是从后者推导出来的。 接下来，我们将展示如果基是正交规范的，显式形式可以 使用点积来改写。 为此， 我们引入 $\vc{n} = (n_x,n_y) = (a,b) = (d_y,-d_x)$，这导致

\begin{equation} d_y p_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0 \\ \Longleftrightarrow \\ \vc{n} \cdot (P - S) = 0, \end{equation}

(3.63)

其中 $P=(p_x, p_y)$ 和 $S=(s_x, s_y)$。这里我们使用了以下事实： 当向量在正交规范基中描述时，$(d_y, -d_x) \cdot (p_x, p_y) = d_y p_x + (-d_x) p_y$，如 定理 3.4 中所述。 如所见，如果我们取从 $S$ 到直线上任意点 $P$ 的向量，那么 如果 $P$ 在直线上，它与 $\vc{n}$ 的点积必须为零。 有趣的是，我们看到 $\vc{n}\cdot\vc{d} =$ $(d_y,-d_x)\cdot (d_x,d_y) = $ $d_y d_x - d_x d_y = $ $0$， 即 $\vc{n}$ 与直线方向 $\vc{d}$ 正交。 因此，$\vc{n}$ 通常被称为直线的法向量。另外请注意， $\vc{n} \cdot (P - S) = 0$ 被称为隐式形式，因为它不能 轻易地生成直线上的点。但是，测试 一个点 $P$ 是否在直线上是很简单的。

这导致了二维直线隐式形式的以下定义。

应该注意的是，定义 3.7 在非正交基的情况下仍然成立。也就是说，直线仍然可以 写成 $\vc{n} \cdot (P-S) = 0$，其中 $\vc{n}$ 是直线的法向量。 但是，计算 $\vc{n}$ 的坐标不再那么简单， 因为一般来说，它不再等于 $\vc{n} = (d_y, -d_x)$。

如上所述，二维直线有两种不同类型的数学表示。 一维或三维直线则不能这样做。然而，正如将在 第 3.6.2 节中看到的，三维平面方程也有两种类似的表示， 即隐式和显式。

回到形如 $\vc{n} \cdot (P - S) = 0$ 的二维直线，这 表示所有在由 $S$ 和 $\vc{d}$ 表示的直线上的点 $P$ 都满足上述表达式，即点积等于零。 如果 $P$ 不在直线上会发生什么？当然，点积将不为零， 但能从该结果中读出其他信息吗？事实证明这可能非常有用。 为了演示这一点，创建了 $P$ 的标量函数 $e$：

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S). \end{equation}

(3.65)

这个函数有时被称为边方程（在计算机图形学中）或有向距离 函数（稍后将在本节中解释）。 由于 $e(P)$ 是用点积定义的，从第 3.4 节可知，当角度 $[\vc{n}, P-S] < \pi/2$ 时 $e(P)$ 为正， 当 $[\vc{n}, P-S] > \pi/2$ 时 $e(P)$ 为负， 只有当 $[\vc{n}, P-S] = \pi/2$ 时 $e(P)=0$。然而，$e(P)=0$ 也意味着 $P$ 位于由 $S$ 和 $\vc{d}$ 定义的直线上。因此，当 $e(P)>0$ 时，我们说 $P$ 在直线的正半空间中，当 $e(P)<0$ 时，$P$ 在负半空间中， 即直线将整个二维平面分成两个半空间。 这在交互插图 3.16 中展示。 借助于 定义 3.1 (点积), 公式 (3.65) 可以重写为

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S) = \ln{\vc{n}}\, \ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]. \end{equation}

(3.66)

注意，$\ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]$ 实际上是从 $P$ 到直线的正交距离， 但需要注意的是，这个"距离"是有向的。这意味着如果 $P$ 在正半空间中， 有向距离为正；如果 $P$ 在负半空间中，有向距离为负。 另外请注意，如果 $\vc{n}$ 是归一化的，那么 $e(P)$ 恰好就是有向正交投影距离函数， 即 $e(P) = \ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]$。

3.6.2 平面

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三维（及更高维）中的平面类似于二维中的直线，它们都将 其定义域分成两个半空间。在第 3.6.1 节中，我们看到二维 直线将 $xy$-平面分成正半空间和负半空间。 对于平面，也有两种表示方式（一种隐式，一种显式），类似于 二维中的直线。

要定义显式形式的平面，即类似于直线的 $P(t) = S + t\vc{d}$， 需要一个起点 $S$ 和两个方向向量 $\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$。 这些方向向量不能共线，即对于所有 $k$ 值都有 $\vc{d}_1 \neq k \vc{d}_2$。 换句话说，方向向量不能平行，即使反向平行也不行。 这些方向向量都位于平面内。因此，如果一个点 $P$ 要位于该平面中，必须满足

\begin{equation} \overrightarrow{SP} = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2, \end{equation}

(3.70)

对于标量 $t_1$ 和 $t_2$ 的某些值。 类似于直线，这个表达式可以改写如下，其中两个 标量 $t_1$ 和 $t_2$ 被设置为 $P$ 的参数，即

\begin{gather} \overrightarrow{SP(t_1,t_2)} = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ P(t_1, t_2) - S = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2. \\ \end{gather}

(3.71)

这种形式也在右侧进行了说明。 如图所示，这与向量加法非常相似。方向向量 $\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$ 分别被 $t_1$ 和 $t_2$ 缩放。得到的向量与起点 $S$ 相加。这导致以下定义。

有趣的是，平面方程也有隐式形式。首先，让我们以分量形式写出平面 方程，如下所示，其中 $d_{1,y}$ 表示 $\vc{d}_1$ 的 $y$ 分量，依此类推。

\begin{equation} P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \begin{cases} p_x(t_1,t_2) = s_x + t_1 d_{1,x} + t_2 d_{2,x},\\ p_y(t_1,t_2) = s_y + t_1 d_{1,y} + t_2 d_{2,y},\\ p_z(t_1,t_2) = s_z + t_1 d_{1,z} + t_2 d_{2,z}. \end{cases} \end{equation}

(3.73)

回忆一下，对于二维直线，参数化直线 $P(t)=S+t\vc{d}$ 可以转换成 隐式形式的直线：$\vc{n}\cdot (P-S)$。这是通过消去 $t$ 完成的，同样的方法 可以应用于上面的方程 (3.73)，其中 $t_1$ 和 $t_2$ 都可以被消去。这可以使用 高斯消元法完成，在第 5 章中有一个相关例子。 这里，我们只是说明上面的方程 (3.73) 可以转换成

\begin{equation} \vc{n} \cdot (P - S) = 0, \end{equation}

(3.74)

并参考 第 5 章以了解更多关于如何消去 $t_1$ 和 $t_2$ 的细节。 请注意，$\vc{n}$ 是该平面的法向量，即它垂直于任何 位于该平面内的向量。在法向量 $\vc{n}$ 和方向向量 $\vc{d}_1$ 与 $\vc{d}_2$ 之间也存在关系 。这就是叉积，这是 第 4 章的主题。

与直线完全相同，我们也可以创建一个有向距离函数为

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S), \end{equation}

(3.76)

其中当 $P$ 位于平面内时 $e(P)=0$。 另外，当 $P$ 与点 $S+\vc{n}$ 位于平面的同一侧时，$e(P)>0$， 这称为正半空间。 类似地，如果 $e(P)<0$，那么 $P$ 与点 $S-\vc{n}$ 位于平面的同一侧。 空间的另一部分称为负半空间。

接下来是一个同时使用直线方程和平面方程的例子。

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在本章引言（第 3.1 节）中， 在交互插图 3.1 中展示了一个称为光线追踪器的图形程序。 一旦获得了一些线性代数的知识，编写这样的程序就相当直接了。 光线追踪器的核心是一个可见性函数，用于确定一条射线可以"看到"哪个物体。 右侧显示了一个例子。在光线追踪器中，创建一个虚拟观察者，它有一个位置，并且 朝某个方向观看。然后光线追踪器从该位置沿该方向计算一幅图像。 视点位置是右侧蓝色射线的起点。然后创建一组射线。在最简单的 情况下，为图像平面中的每个像素创建一条射线。然后由光线追踪程序检查 场景中的相关物体，并计算通过像素的射线是否击中物体，同时找到最近的物体。 对于图 3.21 中的射线，我们可以看到该射线击中了三个圆中的两个。然而，由于 黄色圆更近，该像素被着色为黄色。但是，对于上面的像素，通过该像素的相应射线 将击中绿色圆，因此该像素被着色为绿色。 为了生成带有阴影、反射和折射的图像，可能会从黄色圆和射线的第一个交点 射出更多射线。

在本节中，将展示两个与光线追踪相关的例子。第一个展示如何计算 三维射线与三维球体之间的交点。 第二个例子展示如何在已知法向量的表面中反射向量。 这两个例子都使用点积作为主要工具。