第4章：向量积 (沉浸式线性代数)

$\vc{n}$

$\vc{l}$

$\theta$

对于完全哑光（即非光泽）的表面，无论从哪里观察，表面的表观亮度都是相同的。这意味着光子到达接收表面后，会在表面中被瞬间吸收，然后以任意方向发射出去。这通常用Lambert定律来建模，该定律指出出射强度与接收器处的法向量与从接收器指向光源位置的向量之间的余弦值成正比。这种情况如右图所示，其中法向量为 $\vc{n}$，指向光源（黄色圆圈）的向量称为 $\vc{l}$。Lambert定律指出 “离开表面的亮度”与以下值成正比

\begin{equation} \cos \theta, \end{equation}

(4.1)

它可以表示为

\begin{equation} \cos \theta = \vc{n} \cdot \vc{l} \end{equation}

(4.2)

其中 $\ln{\vc{n}}=1$ 且 $\ln{\vc{l}}=1$，即它们是归一化的。通俗地说，这意味着如果光源方向 $\vc{l}$ 与法向量 $\vc{n}$ 完全对齐，则亮度达到最大值。然而，当 $\vc{l}$ 和 $\vc{n}$ 之间的角度变大时，亮度会降低。

Lambert定律可以用来计算三维物体上非常简单的着色。可以将光源放置在任何位置，从而用于计算 $\vc{l}$。然而，还需要法向量 $\vc{n}$。让我们假设三维物体由三角形组成。我们已经在第3章中看到，可以计算直线的“法向量”，我们还看到从平面方程中，也可以导出平面的法向量。然而，本章描述了一个更简单的工具来计算法向量，即向量积。这有时也称为叉积。一个由三角形组成的三维物体的例子如交互式插图 4.2所示。

交互式插图 4.2：一个连续的环面模型已被转换为（也称为细分）由四边形组成的表示，其中每个四边形由两个三角形组成。请回顾，可以通过点击鼠标右键或在iPad上按两个手指来改变摄像机视角位置。如你所见，着色会随之变化。

为了介绍向量积，我们首先需要定义定向和“手性”。原因是两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的向量积与 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 都正交。然而，向量积还剩下一个自由度，即它指向某一个方向使得它与 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 都正交，或者它指向相反的方向。我们首先介绍二维中的定向，即在平面中。如右图所示，正定向定义为逆时针，而负定向定义为顺时针定向。这类似于角度的定义，读者可能已经熟悉，即正角 $\alpha$ 从 $x$-轴开始逆时针旋转，而负角顺时针旋转，这可以在图 4.3的第二步中看到。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

定向的概念也可以应用于平面中的向量。两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 被称为正定向的，如果 $\vc{u}$ 可以按正定向旋转（参见图 4.3），使得最小角 $[\vc{u},\vc{v}]$ 变为零。请注意，图 4.4中的向量是可移动的，因此读者可以移动它们并通过观察底部的文字来查看定向何时改变。请注意，如果 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 是正定向的，那么 $\vc{v}$ 和 $\vc{u}$ 必须是负定向的，反之亦然。此外，如果 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 是平行的，那么它们就是平行的，不是正定向的也不是负定向的。

接下来，定向的概念扩展到更高的维度，例如三维中向量的定向。为此，我们需要三个向量，让我们称它们为 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$。与二维定向类似，向量的顺序很重要。假设 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 都从一个公共原点开始。现在，向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 被称为正定向的，如果你想象你坐在 $\vc{w}$ 的尖端，朝向原点看，并且从那个位置看 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 是正定向的。对于负定向的向量集也是如此，只是从那个位置看 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 必须是负定向的。这在图 4.5中进行了说明。

交互式插图 4.5：三维中的定向。左侧，向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 是负定向的，而右侧，向量是正定向的。如果你想象你在 $\vc{w}$ 向量的尖端，俖视 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 的公共原点，那么如果从那个位置看 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 是正定向的，你就有一个正定向的向量集。

交互式插图 4.5：三维中的定向。左侧，向量 $\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{w}}$ 是负定向的，而右侧，向量是正定向的。如果你想象你在 $\hid{\vc{w}}$ 向量的尖端，俖视 $\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{w}}$ 的公共原点，那么如果从那个位置看 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$ 是正定向的，你就有一个正定向的向量集。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

一个正定向的向量集也称为右手系，而一个负定向的向量集称为左手系。图 4.6显示了一个右手系，从中可以清楚地看到为什么它被称为右手系：这样的系统可以轻松地用你右手的手指来创建。只需想象你的拇指是第一个向量（$\vc{u}$），而你的食指是第二个向量（$\vc{v}$），最后，你的中指是第三个向量（$\vc{w}$）。相比之下，负定向系统可以用你的左手以完全相同的方式形成。

在本书的剩余部分，我们将主要使用右手系。另外，回顾一下，主轴定义为

\begin{align} \vc{e}_x &= (1,0,0), \\ \vc{e}_y &= (0,1,0), \\ \vc{e}_z &= (0,0,1). \end{align}

(4.3)

通过观察图 4.5的右侧，你可以看到 $\vc{e}_x$、$\vc{e}_y$ 和 $\vc{e}_z$ 可以被 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 替换。因此，$\vc{e}_x$、$\vc{e}_y$ 和 $\vc{e}_z$ 形成了一个右手系。通过观察这些插图，还可以看到可以移动向量的顺序，同时保持它仍是一个右手系。因此以下三个系统都是右手系，

\begin{align} &\vc{e}_x, \vc{e}_y, \vc{e}_z \\ & \,\,\,\,\,\swarrow \swarrow \\ &\vc{e}_y, \vc{e}_z, \vc{e}_x \\ & \,\,\,\,\,\swarrow \swarrow \\ &\vc{e}_z, \vc{e}_x, \vc{e}_y, \\ \end{align}

(4.4)

其中箭头简单地显示了如何从一行到下一行进行左移。请注意，在左侧掉出的一个轴会出现在最右侧的位置。所有其他排列（总共三种）的轴将是负定向的，即形成左手系。

在本章中，我们将简单地从向量积的定义开始，然后了解它的用途。

定义 4.1：向量积
三维中两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的向量积定义为一个新向量，记为 $\vc{u} \times \vc{v}$，它具有以下性质：

(1) $\vc{u} \times \vc{v}$ 与 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 都正交。
(2) $\ln{\vc{u} \times \vc{v}}= \ln{\vc{u}}\,\ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]$。
(3) 向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{u} \times \vc{v}$ 是正定向的。

从 (2) 可知，如果 $\vc{u}=\vc{0}$ 或 $\vc{v}=\vc{0}$，则向量积为 $\vc{0}$，因为长度为 0 的向量必须是 $\vc{0}$ 向量。同样，从 (2) 可知，如果 $[\vc{u},\vc{v}]=0$，则向量积为 $\vc{0}$。另外，由于 $[\vc{u},\vc{u}]=0$，所以 $\vc{u} \times \vc{u}=\vc{0}$。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\ln{\vc{u}}$

$\ln{\vc{v}}$

$\ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]$

$[\vc{u},\vc{v}]$

请注意，到目前为止，向量积的定义相当抽象。很快，我们将看到它有许多重要用途。然而，首先，我们注意到向量积的长度， $\ln{\vc{u} \times \vc{v}}=$ $\ln{\vc{u}}\,\ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]$，可以从几何上进行解释。如右侧所示，$\ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]$ 是由 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 形成的三角形高的长度，但它也是由 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 张成的平行四边形的高。平行四边形的面积 $a$ 为 $a = bh$，其中 $b$ 是底边，$h$ 是高。这可以用向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 来表示，即

\begin{equation} a = bh = \ln{\vc{u}}\, \ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]. \end{equation}

(4.5)

因此，我们看到平行四边形的面积就是向量积的长度，即

\begin{equation} a = \ln{\vc{u} \times \vc{v}}. \end{equation}

(4.6)

请注意，由 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 张成的三角形的面积简单地是平行四边形面积的一半。实际上，这就是我们在例题 3.7中已经看到的。

向量积在交互式插图 4.8中展示。

交互式插图 4.8：这个交互式图形展示了两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 之间的向量积 $\vc{u} \times \vc{v}$。可以移动摄像机，也可以移动 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$。请注意，浅黄色平行四边形的面积等于 $\vc{u} \times \vc{v}$ 的长度。鼓励读者操作这些向量，以研究当 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 平行时会发生什么，以及当 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 交换顺序时 $\vc{u} \times \vc{v}$ 的方向。

交互式插图 4.8：这个交互式图形展示了两个向量 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$ 之间的向量积 $\hid{\vc{u} \times \vc{v}}$。可以移动摄像机，也可以移动 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$。请注意，浅黄色平行四边形的面积等于 $\hid{\vc{u} \times \vc{v}}$ 的长度。鼓励读者操作这些向量，以研究当 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$ 平行时会发生什么，以及当 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$ 交换顺序时 $\hid{\vc{u} \times \vc{v}}$ 的方向。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u} \times \vc{v}$

$\ln{\vc{u}}=$

$\ln{\vc{v}}=$

$\sin [\vc{u},\vc{v}]=$

$\ln{\vc{u} \times \vc{v}}=$

另一种可视化向量积的方式在交互式插图 4.9中展示。

交互式插图 4.9：这个交互式插图以不同的方式展示了如何理解向量积。像常规一样，我们对向量积 $\vc{u} \times \vc{v}$ 感兴趣，我们首先只显示 $\vc{u}$。根据定义，$\vc{u} \times \vc{v}$ 与 $\vc{u}$ 正交，因此，我们可以得出结论， $\vc{u} \times \vc{v}$ 必须位于图中所示的浅蓝色平面中。

交互式插图 4.9：最后，展示了向量积 $\hid{\vc{u} \times \vc{v}}$，请注意它仅仅是 $\hid{\vc{v}}$ 在平面上的投影，但旋转后使其与该投影正交。这是因为 $\hid{\vc{u} \times \vc{v}}$ 与 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$ 都正交。请还要注意，在这种情况下 $\hid{\ln{\vc{u}}=1}$ 是为了简化插图。对于任意长度的 $\hid{\vc{u}}$，蓝色向量（向量积）将按系数 $\hid{\ln{\vc{u}}}$ 缩放。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u} \times \vc{v}$

$\ln{\vc{v}}\sin[\vc{u},\vc{v}]$

如交互式插图 4.9所示，实际上可以将向量积看作一种投影。第三种理解向量积的方式是想象 $\vc{u}$ 是一个平面的法向量，而 $\vc{v}$ 是另一个平面的法向量。如果 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 不平行，那么向量积必须平行于这两个平面之间的交线。这留给读者在纸上画图以确保这实际上是正确的。

与点积类似，向量积也有一套规则。这些规则总结如下。

定理 4.1：向量积规则

\begin{align} \begin{array}{llr} (1) :&\,\,\, \vc{u} \times \vc{v} = -\vc{v} \times \vc{u} & \spc\text{(反对称性)} \\ (2) :&\,\,\, \vc{u} \times (\vc{v} + \vc{w}) = \vc{u} \times \vc{v} + \vc{u} \times \vc{w} & \spc\text{(分配律)} \\ (3) :&\,\,\, (\vc{u} + \vc{v}) \times \vc{w} = \vc{u} \times \vc{w} + \vc{v} \times \vc{w} & \spc\text{(分配律)}\\ (4) :&\,\,\, k(\vc{u} \times \vc{v}) = (k\vc{u}) \times \vc{v} = \vc{u} \times (k\vc{v}) & \spc\text{(结合律)} \end{array} \end{align}

(4.7)

证明：

(1) 这直接从定义 4.1得出，即我们知道 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{u} \times \vc{v}$ 是正定向的，如果我们交换 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的顺序，向量积将指向相反的方向。
(2) 我们在交互式插图 4.9中看到，向量积也可以被看作一种缩放的投影。此外，在定理 3.1 中，规则（3）指出 $\vc{u} \cdot (\vc{v} +\vc{w})=\vc{u} \cdot \vc{v} + \vc{u} \cdot \vc{w}$。该等式是通过证明投影之和等于和的投影来证明的，由于向量积的 (2) 可以被看作是缩放投影的和，以及和的缩放投影，我们得出结论 (2) 必须是正确的。画一个类似于交互式插图 4.9的图形可能会有所帮助，其中 $\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 都投影到以 $\vc{u}$ 为法向量的平面上，并且还要看看 $\vc{v} + \vc{w}$ 的投影。这有更正式的证明，但这是一个直观的推理，我们相信它有助于理解。
(3) 给定 (1) 和 (2)，这相当简单直接地证明，即

\begin{align} (\vc{u} + \vc{v}) \times \vc{w} & \overset{(1)}{=} -\vc{w} \times (\vc{u} + \vc{v}) \\ & \overset{(2)}{=} -\vc{w} \times \vc{u} -\vc{w} \times\vc{v} \\ & \overset{(1)}{=} \vc{u} \times \vc{w} +\vc{v} \times\vc{w}, \\ \end{align}

(4.8)

这就是我们想要证明的。
(4) 这从向量积的定义和向量的缩放规则得出。

$\square$

例题 4.1：使用向量积规则
在这个例题中，我们将使用定理 4.1中的规则来简化两个表达式。我们从 $(\vc{u} + \vc{v}) \times (\vc{u} - \vc{v})$ 开始，并使用与之前相同的约定，在等号上方的括号中放置规则编号，

\begin{align} (\vc{u} + \vc{v}) \times (\vc{u} - \vc{v}) & \overset{(2,4)}{=} (\vc{u} + \vc{v}) \times \vc{u} - (\vc{u} + \vc{v}) \times \vc{v} \\ & \overset{(3)}{=} \underbrace{\vc{u} \times \vc{u}}_{=\vc{0}} + \vc{v} \times \vc{u} - \vc{u}\times \vc{v} - \underbrace{\vc{v} \times \vc{v}}_{=\vc{0}} \\ & \overset{(1)}{=} -2\vc{u} \times \vc{v}. \end{align}

(4.9)

在第二个表达式中，我们简单地交换上述向量积中项的顺序，即我们简化 $(\vc{u} - \vc{v}) \times (\vc{u} + \vc{v})$。这有略微不同的结果，即

\begin{align} (\vc{u} - \vc{v}) \times (\vc{u} + \vc{v}) & \overset{(2,4)}{=} (\vc{u} - \vc{v}) \times \vc{u} + (\vc{u} - \vc{v}) \times \vc{v} \\ & \overset{(3)}{=} \underbrace{\vc{u} \times \vc{u}}_{=\vc{0}} - \vc{v} \times \vc{u} + \vc{u}\times \vc{v} - \underbrace{\vc{v} \times \vc{v}}_{=\vc{0}} \\ & \overset{(1)}{=} 2\vc{u} \times \vc{v}. \end{align}

(4.10)

由于我们简单地交换了向量积中项的顺序，我们可以简单地使用方程 (4.9)的结果和向量积的规则 (1)，就可以看到结果完全相同，只是取负。
接下来，让我们在交互式插图 4.10中看看这在几何上意味着什么。

交互式插图 4.10：本插图将探讨 $(\vc{u} + \vc{v}) \times (\vc{u} - \vc{v})$，特别是其长度：$\ln{(\vc{u} + \vc{v}) \times (\vc{u} - \vc{v})}$。回想一下，$\ln{\vc{u} \times \vc{v}}$ 是由 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 张成的平行四边形的面积。首先显示两个可移动的向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$。点击/按下前进以继续。

交互式插图 4.10：在本插图的最后一步，剩下的四个三角形区域被着成青色。很明显，中间平行四边形的四个绿色三角形的面积与四个青色三角形的面积相等。因此，很明显 $\hid{\ln{(\vc{u} + \vc{v}) \times (\vc{u} - \vc{v})}=}$ $\hid{2\ln{\vc{u} \times \vc{v}}}$，这与我们在例子开始通过化简表达式得到的结论一致。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{u}-\vc{v}$

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{u}-\vc{v}$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

$\vc{e}_3$

最后，我们注意到三个恒等式

\begin{align} \vc{e}_1 \times \vc{e}_2 &= \vc{e}_3, \\ \vc{e}_2 \times \vc{e}_3 &= \vc{e}_1, \\ \vc{e}_3 \times \vc{e}_1 &= \vc{e}_2, \\ \end{align}

(4.11)

对于任何正定向的标准正交基 $\vc{e}_1$、 $\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 都成立。这里右侧的图形可能会有所帮助。此外，由于 $\vc{u}\times \vc{v} = -\vc{v}\times \vc{u}$，可以得出

\begin{align} \vc{e}_2 \times \vc{e}_1 &= -\vc{e}_3, \\ \vc{e}_3 \times \vc{e}_2 &= -\vc{e}_1, \\ \vc{e}_1 \times \vc{e}_3 &= -\vc{e}_2. \\ \end{align}

(4.12)

定义 4.1有些抽象。然而，事实证明，存在一种非常直接的方法来在三维空间的标准正交基中计算向量积。这在下面的定理中总结。

定理 4.2：标准正交基中的向量积
对于三维向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$，以及一个正定向的标准正交基，向量积为

\begin{equation} \vc{u} \times \vc{v} = (u_y v_z - u_z v_y, \, u_z v_x - u_x v_z, \, u_x v_y- u_y v_x). \end{equation}

(4.13)

证明：

给定 $\vc{u} = u_x\vc{e}_1 + u_y\vc{e}_2 + u_z\vc{e}_3$ 和 $\vc{v} = v_x\vc{e}_1 + v_y\vc{e}_2 + v_z\vc{e}_3$，向量积可以表示为下面的形式，其中使用了定理 4.1中的规则，

\begin{align} \vc{u} \times \vc{v} =& (u_x\vc{e}_1 + u_y\vc{e}_2 + u_z\vc{e}_3) \times (v_x\vc{e}_1 + v_y\vc{e}_2 + v_z\vc{e}_3)\\ =& u_x v_x \underbrace{\vc{e}_1 \times \vc{e}_1}_{=\vc{0}} + u_x v_y \vc{e}_1 \times \vc{e}_2 + u_x v_z \vc{e}_1 \times \vc{e}_3 + \\ & u_y v_x \vc{e}_2 \times \vc{e}_1 + u_y v_y \underbrace{\vc{e}_2 \times \vc{e}_2}_{=\vc{0}} + u_y v_z \vc{e}_2 \times \vc{e}_3 + \\ & u_z v_x \vc{e}_3 \times \vc{e}_1 + u_z v_y \vc{e}_3 \times \vc{e}_2 + u_z v_z \underbrace{\vc{e}_3 \times \vc{e}_3}_{=\vc{0}} \\ =& (u_x v_y - u_y v_x)\vc{e}_1 \times \vc{e}_2 + (u_x v_z - u_z v_x) \vc{e}_1 \times \vc{e}_3 + (u_y v_z - u_z v_y)\vc{e}_2 \times \vc{e}_3. \end{align}

(4.14)

借助方程 (4.11)和方程 (4.12)的帮助，这可以被改写为

\begin{align} \vc{u} \times \vc{v} =& (u_x v_y - u_y v_x)\underbrace{\vc{e}_1 \times \vc{e}_2}_{=\vc{e}_3} + (u_x v_z - u_z v_x)\underbrace{\vc{e}_1 \times \vc{e}_3}_{=-\vc{e}_2} + (u_y v_z - u_z v_y)\underbrace{\vc{e}_2 \times \vc{e}_3}_{=\vc{e}_1} \\ =& (u_y v_z - u_z v_y)\vc{e}_1 + (u_z v_x -u_x v_z)\vc{e}_2 + (u_x v_y - u_y v_x)\vc{e}_3. \end{align}

(4.15)

这就完成了证明。

$\square$

使用定理 4.2来计算向量积是非常有用的，但可能很难记住。一种更容易记住它的方法叫做 Sarrus 规则。基向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 被放在一行上，写两次，在其下面的一行上放上 $\vc{u}$ 的 $x$、$y$ 和 $z$ 分量，也写两次。然后在第三行上，对 $\vc{v}$ 做同样的操作。如下所示：

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - &\,\, - & - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \!\swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow \\ \vc{e}_1 & \vc{e}_2 & \vc{e}_3 &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vc{e}_1 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vc{e}_2 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vc{e}_3 \\ u_x & u_y & u_z &\!\!\!\!\!\!\!\!\! u_x &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! u_y &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! u_z \\ v_x & v_y & v_z &\!\!\!\!\!\!\!\!\! v_x &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! v_y &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! v_z \\ \end{array} \end{equation}

(4.16)

接下来，你沿着箭头方向，将相应对角线上的所有项相乘，然后带上每个箭头上方的符号将它们相加。这就得到

\begin{equation} \vc{u}\times \vc{v} = +\vc{e}_1 u_y v_z +\vc{e}_2 u_z v_x +\vc{e}_3 u_x v_y -\vc{e}_1 u_z v_y -\vc{e}_2 u_x v_z -\vc{e}_3 u_y v_x, \end{equation}

(4.17)

它就是 $\vc{u}\times \vc{v}=$$(u_y v_z-u_z v_y,\, u_z v_x-u_x v_z,\, u_x v_y-u_y v_x)$，即定理 4.2。

另一种方法是按行写下向量的分量，其中 $\vc{u}$ 的分量在 $\vc{v}$ 的分量上方，即

\begin{equation} \begin{array}{ccc} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{array} \end{equation}

(4.18)

要找到 $\vc{u} \times \vc{v}$ 的 $x$ 分量，只需划掉第一列，然后将东南对角线上的项相乘，再减去西南对角线上的乘积，

\begin{equation} \left| \begin{array}{cc} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{array} \right| = u_y v_z - u_z v_y. \end{equation}

(4.19)

注意上面剩余项周围的竖线。这是行列式的记号，这是第7章的主题。然后用同样的方法来找到 $y$ 分量和 $z$ 分量，但 $y$ 分量前有一个负号。这总结如下

\begin{equation} \vc{u}\times \vc{v} = \Biggl( +\left| \begin{array}{cc} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{array} \right|, \, -\left| \begin{array}{cc} u_x & u_z \\ v_x & v_z \end{array} \right|, \, +\left| \begin{array}{cc} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{array} \right| \Biggr). \end{equation}

(4.20)

有两种三重积，即具有三个项的乘积，它们基于向量积。其中之一生成一个向量，因此被称为向量三重积，这是4.6节的主题。另一种，也就是本节的主题，被称为标量三重积，因为它生成一个标量。定义如下。

定义 4.2：标量三重积
三个向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 的标量三重积为

\begin{equation} (\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w}. \end{equation}

(4.21)

有趣的是，这个表达式也是第7章主题——计算 $3\times 3$ 矩阵的行列式的方法。

事实证明，标量三重积可以用来计算由三个向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 张成的平行六面体的体积。这在下面的定理中总结：

定理 4.3：平行六面体的带符号体积
标量三重积 $(\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w}$ 可以用来计算由 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 张成的平行六面体的体积 $V$，即

\begin{align} V = +(\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w}, & \hspace{5pt} \text{如果这些向量为正向排列}, \\ V = -(\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w}, & \hspace{5pt} \text{如果这些向量为负向排列}. \\ \end{align}

(4.22)

这意味着体积总是标量三重积的绝对值，即 $|(\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w}|$。如果任一向量为零，或者两个（或更多）向量平行，或者所有三个向量都位于同一平面内，则体积为零。

证明：

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

$\vc{u} \times \vc{v}$

借助右侧由 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 张成的平行六面体的图形，这变得相当直接。正如我们从图 4.7和向量积的定义 4.1中所知，向量积的长度是平行四边形的面积（图中的黄色部分）。也就是说，底面平行四边形的面积是 $\ln{\vc{u} \times \vc{v}}$，其中向量积的方向取决于 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的定向。此外，从点积的定义 3.1中，我们知道 $\vc{a}\cdot \vc{w} =$$ \ln{\vc{a}}\,\ln{\vc{w}} \cos[\vc{a},\vc{w}]$。现在，我们引入 $\vc{a} = \vc{u} \times \vc{v}$，结果就是

\begin{align} (\vc{u} \times \vc{v})\cdot \vc{w} =& \vc{a} \cdot \vc{w} = \ln{\vc{a}}\,\ln{\vc{w}} \cos[\vc{a},\vc{w}] \\ =& \underbrace{\ln{\vc{u} \times \vc{v}}}_{\text{基底面积}} \, \underbrace{\ln{\vc{w}} \cos[\vc{u} \times \vc{v},\vc{w}]}_{\text{带符号的高度}}. \end{align}

(4.23)

可以看出，最终的表达式是两项的乘积，其中第一项是底面平行四边形的面积，第二项是带符号的高度。如果我们暂时不考虑符号，我们就得到了平行六面体的体积。符号来自余弦项，即 $\cos[\vc{u} \times \vc{v},\vc{w}]$。现在，如果 $\vc{u} \times \vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 之间的最小角度 $[\vc{u} \times \vc{v},\vc{w}]$ 小于 $\pi/2$，那么余弦项为正；如果大于 $\pi/2$，则为负。由于 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{u} \times \vc{v}$ 构成一个右手系，当 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 是正定向时，余弦项必须为正，反之亦然。这就完成了证明。

$\square$

可以看出，测试三个向量是否正定向（即它们构成一个右手系）是一件简单的事情。这可以通过检查 $(\vc{u}\times \vc{v}) \cdot \vc{w} > 0$ 来完成。另外，请注意，对于三维空间中的右手正交标准基，我们有 $\ln{\vc{e}_1}=1$、$\ln{\vc{e}_2}=1$ 和 $\ln{\vc{e}_3}=1$，并且 $\vc{e}_1 \cdot \vc{e}_2 = 0$、$\vc{e}_1 \cdot \vc{e}_3 = 0$ 和 $\vc{e}_2 \cdot \vc{e}_3 = 0$。此外，必须满足 $(\vc{e}_1 \times \vc{e}_2)\cdot \vc{e}_3 > 0$。事实上，由于这些向量是单位化的，并且两两正交，我们有

\begin{gather} \underbrace{(\vc{e}_1 \times \vc{e}_2)}_{\vc{e}_3} \cdot \vc{e}_3 = \vc{e}_3\cdot \vc{e}_3=1, \end{gather}

(4.24)

对于右手正交标准基。

请注意，由于标量三重积计算的是平行六面体的体积（带符号），我们实际上可以改变标量三重积表达式中向量的顺序，只要我们保持它们处于正定向系统中。因此，我们有

\begin{equation} (\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w} = (\vc{v} \times \vc{w}) \cdot \vc{u} = (\vc{w} \times \vc{u}) \cdot \vc{v}. \end{equation}

(4.25)

还有一种方法可以改变这些项的符号：使用定理 4.1 的规则 (1)，即 $\vc{u} \times \vc{v} = -\vc{v} \times \vc{u}$：

\begin{equation} (\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w} = -(\vc{v} \times \vc{u}) \cdot \vc{w} = -(\vc{w} \times \vc{v}) \cdot \vc{u} = -(\vc{u} \times \vc{w}) \cdot \vc{v}. \end{equation}

(4.26)

请注意，对于一个既是正交标准基又是右手系，即正定向系统的基，必须满足 $(\vc{e}_1\times \vc{e}_2) \cdot \vc{e}_3 = 1$。

正如其名称所示，向量三重积是三个向量的乘积。在我们介绍向量三重积之前，我们先介绍它的一个简化版本，其中两个向量是相同的：

定理 4.4：简化的向量三重积
当向量三重积中的前两项相同时，我们有

\begin{equation} \vc{u} \times (\vc{u} \times \vc{v}) = (\vc{u} \cdot \vc{v})\vc{u} - (\vc{u} \cdot \vc{u})\vc{v}. \end{equation}

(4.27)

证明：

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u}\times \vc{v}$

$\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$

正如右侧图形中所示，$\vc{u}$、$\vc{u}\times \vc{v}$ 和 $\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$ 构成一个右手系，并且它们彼此都是正交的。这意味着我们可以创建一个向量，我们称之为 $\vc{a}$，将 $\vc{v}$ 投影到 $\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$ 上：

\begin{equation} \vc{a} = \vc{v} - \proj{\vc{u}}{\vc{v}}. \end{equation}

(4.28)

可以看出，为了避免使用 $\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$，我们已经从 $\vc{v}$ 中减去了 $\vc{v}$ 在 $\vc{u}$ 上的投影。根据构造（参见图 4.13）， $\vc{a}$ 和 $\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$ 是平行的并且方向相反。因此，我们需要将 $\vc{a}$ 缩放一个因子，以使其与 $\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$ 的长度相同。 $\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})$ 的长度平方为

\begin{align} \ln{\vc{u}\times (\vc{u}\times \vc{v})}^2 =& \ln{\vc{u}}^2 \, \underbrace{ \ln{\vc{u}}^2 \ln{\vc{v}}^2 \sin^2[\vc{u}, \vc{v}] }_{ \ln{\vc{u} \times \vc{v}}^2} \\ =&\ln{\vc{u}}^4\ln{\vc{v}}^2 \bigl(1-\cos^2[\vc{u}, \vc{v}]\bigr) \\ =&\ln{\vc{u}}^4\ln{\vc{v}}^2 - \ln{\vc{u}}^4\ln{\vc{v}}^2 \cos^2[\vc{u}, \vc{v}] \\ =& \ln{\vc{u}}^4\ln{\vc{v}}^2 - \ln{\vc{u}}^2 (\vc{u} \cdot \vc{v})^2. \end{align}

(4.29)

在上面的第一行中，我们看到 $\vc{u} \times \vc{v}$ 的长度乘以 $\ln{\vc{u}}$。这是因为 $\vc{u}$ 和 $\vc{u} \times \vc{v}$ 已经是正交的，因此 $\sin$ 项变为 1。接下来，我们在 $\vc{a}$ 的表达式中写出完整的投影公式，

\begin{equation} \vc{a} = \vc{v} - \frac{\vc{u}\cdot \vc{v}}{\vc{u}\cdot \vc{u}}\vc{u}. \end{equation}

(4.30)

如果我们将上面的表达式缩放 $\vc{u}\cdot \vc{u}$ 倍，我们得到

\begin{equation} \vc{b} = (\vc{u}\cdot \vc{u})\vc{v} - (\vc{u}\cdot \vc{v})\vc{u}. \end{equation}

(4.31)

现在，让我们看看这个向量的长度平方，

\begin{align} \ln{\vc{b}}^2 &= (\vc{u}\cdot \vc{u})^2 (\vc{v}\cdot\vc{v}) -2(\vc{u}\cdot \vc{u})(\vc{u}\cdot \vc{v})^2 + (\vc{u}\cdot \vc{v})^2(\vc{u} \cdot \vc{u}) \\ &=(\vc{u}\cdot \vc{u})^2 (\vc{v}\cdot\vc{v}) -(\vc{u}\cdot \vc{u})(\vc{u}\cdot \vc{v})^2 \\ &= \ln{\vc{u}}^4\ln{\vc{v}}^2 - \ln{\vc{u}}^2(\vc{u}\cdot \vc{v})^2, \end{align}

(4.32)

这与方程 (4.29)相同，这就证明了定理。

$\square$

接下来，完整的向量三重积，有时被称为 Lagrange 公式，或三重积展开，在下面的定理中介绍。

定理 4.5：向量三重积
$\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 的向量三重积为

\begin{equation} \vc{u} \times (\vc{v} \times \vc{w}) = (\vc{u} \cdot \vc{w})\vc{v} - (\vc{u} \cdot \vc{v})\vc{w}. \end{equation}

(4.33)

证明：

我们假设向量 $\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 不是平行的，因为否则乘积将是零向量。因此，$\vc{u}$ 可以用 $\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 表示：

\begin{equation} \vc{u} = a\vc{v} + b\vc{w} + c(\vc{v} \times \vc{w}), \end{equation}

(4.34)

对于某些值 $a$、$b$ 和 $c$。让我们简化点积 $\vc{u}\cdot \vc{v}$ 和 $\vc{u}\cdot \vc{w}$ 的表达式，

\begin{align} \vc{u}\cdot \vc{v} & = (a\vc{v} + b\vc{w} + c(\vc{v} \times \vc{w}))\cdot \vc{v} \\ & = a(\vc{v}\cdot\vc{v}) + b(\vc{w}\cdot \vc{v}) + c\underbrace{(\vc{v} \times \vc{w})\cdot \vc{v}}_{=0}\\ & = a(\vc{v}\cdot\vc{v}) + b(\vc{w}\cdot \vc{v}) . \end{align}

(4.35)

用同样的方法，我们得到

\begin{equation} \vc{u}\cdot \vc{w} = a(\vc{v}\cdot\vc{w}) + b(\vc{w}\cdot \vc{w}). \end{equation}

(4.36)

现在，让我们使用方程 (4.34)和定理 4.4，并简化 $\vc{u} \times (\vc{v} \times \vc{w})$，即

\begin{align} \vc{u} \times (\vc{v} \times \vc{w}) &= (a\vc{v} + b\vc{w} + c(\vc{v} \times \vc{w}))\times (\vc{v} \times \vc{w}) \\ &= a\vc{v}\times (\vc{v} \times \vc{w}) + b\vc{w} \times (\vc{v} \times \vc{w}) + c\underbrace{(\vc{v} \times \vc{w})\times (\vc{v} \times \vc{w})}_{=\vc{0}} \\ &= a\underbrace{\vc{v}\times (\vc{v} \times \vc{w})}_{(\vc{v} \cdot \vc{w})\vc{v} - (\vc{v} \cdot \vc{v})\vc{w}} - b\underbrace{\vc{w} \times (\vc{w} \times \vc{v})}_{(\vc{w} \cdot \vc{v})\vc{w} - (\vc{w} \cdot \vc{w})\vc{v}} \\ &= a\bigl((\vc{v} \cdot \vc{w})\vc{v} - (\vc{v} \cdot \vc{v})\vc{w}\bigr) - b\bigl((\vc{w} \cdot \vc{v})\vc{w} - (\vc{w} \cdot \vc{w})\vc{v}\bigr) \\ &=\bigl(\underbrace{a (\vc{v} \cdot \vc{w}) +b (\vc{w} \cdot \vc{w}}_{\vc{u}\cdot\vc{w}})\bigr)\vc{v} - \bigl(\underbrace{a(\vc{v} \cdot \vc{v}) + b(\vc{w} \cdot \vc{v})}_{\vc{u}\cdot\vc{v}}\bigr)\vc{w}\\ &= (\vc{u}\cdot\vc{w})\vc{v} - (\vc{u}\cdot\vc{v})\vc{w}, \end{align}

(4.37)

这就是我们想要证明的。请注意，定理 4.4在第三行被使用了两次。此外，方程 (4.35)和方程 (4.36)在倒数第二行被使用。

$\square$

我们可以使用向量三重积来证明向量积不满足结合律，即 $({\vc{a} \times \vc{b}}) \times \vc{c} \neq \vc{a} \times (\vc{b} \times \vc{c})$。使用定理 4.5，设 $\vc{u} = \vc{a}$、$\vc{v} = \vc{b}$ 和 $\vc{w} = \vc{c}$，得到

\begin{equation} \vc{a} \times (\vc{b} \times \vc{c}) = (\vc{a}\cdot\vc{c})\vc{b} - (\vc{a}\cdot \vc{b})\vc{c}. \end{equation}

(4.38)

我们现在可以再次使用该定理,这次设 $\vc{v} = \vc{a}$、$\vc{w} = \vc{b}$ 和 $\vc{u} = \vc{c}$,得到

\begin{equation} \vc{c} \times (\vc{a} \times \vc{b}) = (\vc{c}\cdot\vc{b})\vc{a} - (\vc{c}\cdot \vc{a})\vc{b}. \end{equation}

(4.39)

在第二个表达式中,如果我们也改变符号,就可以改变 $\vc{c}$ 和 $(\vc{a}\times \vc{b})$ 的顺序(参见定理 4.1的第一条规则)。这意味着

\begin{equation} (\vc{a} \times \vc{b})\times \vc{c} = -(\vc{c}\cdot\vc{b})\vc{a} + (\vc{c}\cdot \vc{a})\vc{b}. \end{equation}

(4.40)

现在,要使向量积满足结合律,即 $(\vc{a} \times \vc{b}) \times \vc{c} = \vc{a} \times (\vc{b} \times \vc{c})$,方程 (4.38)和方程 (4.40)的右侧必须相等。请注意,括号中的表达式是标量值,令右侧相等得到

\begin{equation} k_1 \vc{b} + k_2 \vc{c} = k_3 \vc{b} + k_4 \vc{a}, \end{equation}

(4.41)

对于某些标量 $k_1, k_2, k_3$ 和 $k_4$。这仅在以下情况下成立

\begin{equation} k_2 \vc{c} = (k_3-k_1) \vc{b} + k_4 \vc{a}, \end{equation}

(4.42)

这意味着 $\vc{c}$ 位于由 $\vc{b}$ 和 $\vc{a}$ 张成的平面内,而一般来说,情况并非如此。因此,向量积不满足结合律。

向量三重积定理也可以用来证明向量积满足 Jacobian 恒等式,如下所示。

定理 4.6: 向量积的 Jacobian 恒等式
三重向量积满足以下性质:

\begin{equation} \vc{u} \times (\vc{v} \times \vc{w}) + \vc{v} \times (\vc{w} \times \vc{u}) + \vc{w} \times (\vc{u} \times \vc{v}) =0. \end{equation}

(4.43)

证明:

我们只需使用定理 4.5来证明 Jacobian 恒等式:

\begin{gather} \vc{u} \times (\vc{v} \times \vc{w}) + \vc{v} \times (\vc{w} \times \vc{u}) + \vc{w} \times (\vc{u} \times \vc{v}) = \\ (\vc{u} \cdot \vc{w})\vc{v} - (\vc{u} \cdot \vc{v})\vc{w} + (\vc{v} \cdot \vc{u})\vc{w} - (\vc{v} \cdot \vc{w})\vc{u} + (\vc{w} \cdot \vc{v})\vc{u} - (\vc{w} \cdot \vc{u})\vc{v}=0, \end{gather}

(4.44)

由于 $\vc{u}\cdot\vc{v} = \vc{v}\cdot\vc{u}$,这就完成了证明。

$\square$

本章以一些例题结束。

例题 4.2: 两个二维向量的定向
给定两个在标准正交基中的二维向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$,我们想要确定它们的定向。参见图 4.4中关于这个主题的小交互式插图。正如我们所见,对于三维向量来说这很简单,即我们可以简单地使用定理 4.2,然后研究向量积指向哪个方向。因此,这可以通过增广二维向量再增加一个分量来完成,即 $z$ 分量, 将其设置为零。这意味着我们有 $\vc{u}' = (u_x, u_y, 0)$ 和 $\vc{v}' = (v_x, v_y, 0)$。向量积为:

\begin{equation} \vc{u}' \times \vc{v}' = (u_x, u_y, 0) \times (v_x, v_y, 0) = (0,0, u_x v_y - u_y v_x). \end{equation}

(4.45)

请注意 $x$ 和 $y$ 分量都是零。这可以从以下事实得知：$\vc{u}'$ 和 $\vc{v}'$ 都位于 $xy$ 平面内（即它们的 $z$ 分量为零），因此点积必须正交于 $xy$ 平面。
因此，要确定 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的定向，只需计算 $s = u_x v_y - u_y v_x$。如果 $s>0$ 那么它们是正定向的，如果 $s<0$ 则它们是负定向的，否则它们是平行的。

例题 4.3: 三角形的法向量和平面方程
给定一个具有三个顶点 $A$、$B$ 和 $C$ 的三角形，我们想要计算三角形所在平面的法向量。首先构造两个边向量：

\begin{align} \vc{u} =& B - A, \\ \vc{v} =& C - A. \\ \end{align}

(4.46)

法向量 $\vc{n}$ 就是这些边向量的向量积，即

\begin{equation} \vc{n} = \vc{u} \times \vc{v}. \end{equation}

(4.47)

事实上，这与在图 4.2中计算 Lambertian 着色时使用的技术相同。

现在我们有了平面的法向量 $\vc{n}$，并且我们知道 $A$、$B$ 和 $C$ 都位于三角形的平面内，因此可以找到三角形的平面方程（3.6.2节）。平面方程为

\begin{gather} \vc{n} \cdot (P-A) = 0 \\ \Longleftrightarrow \\ (\vc{u} \times \vc{v})\cdot (P-A) = 0, \end{gather}

(4.48)

其中 $P$ 是平面上的任意点，$A$ 是我们已知位于平面内的点。我们可以选择任何点，例如 $B$ 或 $C$。请注意，由于法向量表示为向量积，整个平面方程表示为标量三重积。

例题 4.4: 四面体的体积

$A$

$B$

$C$

$D$

给定一个由四个点 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 定义的四面体，我们寻求这个几何形状的体积。首先，从 $A$ 出发的三个边向量构造如下：

\begin{align} \vc{u} =& B - A, \\ \vc{v} =& C - A, \\ \vc{w} =& D - A. \\ \end{align}

(4.49)

四面体的体积是这三个向量的标量三重积的绝对值的六分之一，即，你可以在由 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 张成的平行六面体内放置六个四面体。鼓励读者用纸笔尝试证明这一点。四面体的体积表示为

\begin{equation} \frac{1}{6} | (\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w} |, \end{equation}

(4.50)

其中我们需要取标量三重积的绝对值，以防 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 在负定向系统中定义。

例题 4.5: 从两个向量构造正交标准基
假设我们有两个非平行的向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$，我们希望生成一个正交标准基，其中 $\vc{u}$ 与其中一个基向量平行，即

\begin{equation} \vc{e}_1 = \frac{1}{\ln{\vc{u}}} \vc{u}. \end{equation}

(4.51)

第一个基向量就是单位化的 $\vc{u}$。由于 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 之间的角度可以是任意值，我们不能直接使用 $\vc{v}$ 的单位化版本作为基向量。然而，我们可以使用单位化的向量积

\begin{equation} \vc{e}_2 = \frac{1}{\ln{\vc{u}\times \vc{v}}} (\vc{u}\times \vc{v}). \end{equation}

(4.52)

最后，$\vc{e}_3$ 从 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 使用向量积创建，即

\begin{equation} \vc{e}_3 = \vc{e}_1 \times \vc{e}_2. \end{equation}

(4.53)

可以看出，第三个基向量可以直接使用简化的向量三重积 (定理 4.4)创建

\begin{equation} \vc{e}_3 = \vc{e}_1 \times \vc{e}_2 = \frac{1}{\ln{\vc{u}} \, \ln{\vc{u}\times \vc{v}}} \vc{u} \times (\vc{u}\times \vc{v}). \end{equation}

(4.54)

基就是 $\{\vc{e}_1$, $\vc{e}_2$, $\vc{e}_3\}$。

在4.1节中，我们需要计算三角形的单位法向量。三角形的法向量是一个正交于三角形平面的向量。现在我们知道了向量积的工作原理，这就是一个简单的问题。假设三角形的顶点称为 $P_1$、$P_2$ 和 $P_3$，即它们是三维点。让我们选择 $P_3$ 作为参考点，从这里计算边向量，即从 $P_3$ 到 $P_1$ 和 $P_2$ 的向量。这可以表示为

\begin{align} \vc{e}_1 &= P_1 - P_3, \\ \vc{e}_2 &= P_2 - P_3. \end{align}

(4.55)

现在，非单位化的法向量就是 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 之间的向量积，即

\begin{equation} \vc{m} = \vc{e}_1 \times \vc{e}_2. \end{equation}

(4.56)

单位化 $\vc{m}$ 得到单位法向量，即

\begin{equation} \vc{n} = \frac{\vc{m}}{\ln{\vc{m}}}. \end{equation}

(4.57)

请注意，根据点的排列顺序，我们可以切换法向量的方向使其指向相反的方向。

第 4 章：向量积

4.1 引言

4.2 定向

4.3 向量积的定义

4.4 规则和性质

4.5 标量三重积

4.6 向量三重积

4.7 例题

4.8 引言例题的后续