定义 6.10：二维旋转矩阵
一个 $2\times 2$ 的旋转矩阵定义为 \begin{align} \mx{R}(\phi) = & \left(\begin{array}{rr} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right), \end{align} 其中 $\phi$ 是矩阵旋转的弧度数（逆时针方向）。

公式 9.6：
\begin{equation} \begin{cases} y_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) x_1 - \sin(\frac{\pi}{3}) x_2, \\ y_2 = \sin(\frac{\pi}{3}) x_1 + \cos(\frac{\pi}{3}) x_2. \end{cases} \end{equation}

公式 9.12：
\begin{align} \vc{x} & = x_1 \vc{e}_1 + x_2 \vc{e}_2,\\ \vc{y} & = y_1 \vc{e}_1 + y_2 \vc{e}_2.\\ \end{align}

定理 6.1：矩阵运算性质
下列运算均假设矩阵大小满足定义要求。 \begin{equation} \begin{array}{llr} (i) & k(l\mx{A}) = (kl)\mx{A} & \spc\text{(associativity)} \\ (ii) & (k+l)\mx{A} = k\mx{A} +l\mx{A} & \spc\text{(distributivity)} \\ (iii) & k(\mx{A}+\mx{B}) = k\mx{A} +k\mx{B} & \spc\text{(distributivity)} \\ (iv) & \mx{A} + \mx{B} = \mx{B} + \mx{A} & \spc\text{(commutativity)} \\ (v) & \mx{A}+(\mx{B}+\mx{C})=(\mx{A}+\mx{B})+\mx{C} & \spc\text{(associativity)} \\ (vi) & \mx{A}+ (-1)\mx{A} = \mx{O} & \spc\text{(additive inverse)} \\ (vii) & \mx{A}(\mx{B}+\mx{C})=\mx{A}\mx{B}+\mx{A}\mx{C} & \spc\text{(distributivity)} \\ (viii) & (\mx{A}+\mx{B})\mx{C}=\mx{A}\mx{C}+\mx{B}\mx{C} & \spc\text{(distributivity)} \\ (ix) & (\mx{A}\mx{B})\mx{C}=\mx{A}(\mx{B}\mx{C}) & \spc\text{(associativity)} \\ (x) & \mx{I}\mx{A}=\mx{A}\mx{I}=\mx{A} & \spc\text{(multiplicative one)} \\ (xi) & (k\mx{A})^\T=k\mx{A}^\T & \spc\text{(transpose rule 1)} \\ (xii) & (\mx{A}+\mx{B})^\T=\mx{A}^\T+\mx{B}^\T & \spc\text{(transpose rule 2)} \\ (xiii) & (\mx{A}^\T)^\T=\mx{A} & \spc\text{(transpose rule 3)} \\ (xiv) & (\mx{A}\mx{B})^\T=\mx{B}^\T\mx{A}^\T & \spc\text{(transpose rule 4)} \\ \end{array} \end{equation} 此外，我们有以下平凡的规则集：$1\mx{A}=\mx{A}$，$0\mx{A}=\mx{O}$， 另外还有如下简单规则：$1\mx{A}=\mx{A}$，$0\mx{A}=\mx{O}$，$k\mx{O}=\mx{O}$，$\mx{A}+\mx{O}=\mx{A}$。

定理 9.1：线性映射的矩阵形式
映射 $\vc{y} = F(\vc{x})$ 当且仅当是线性的，才能写成 $\vc{y} = \mx{A}\vc{x}$（矩阵形式）。

定理 6.9：
设 $\mx{A}$ 为方阵，下列条件等价：

1. $\mx{A}$ 的列向量张成 $\R^p$。
2. $\mx{A}$ 的行向量张成 $\R^p$。
3. 对任意 $\vc{y}$，方程 $\mx{A} \vc{x} = \vc{y}$ 有解。
4. $\mx{A}$ 的列向量线性无关。
5. $\mx{A}$ 的行向量线性无关。
6. 方程 $\mx{A} \vc{x} = \vc{0}$ 只有零解。
7. $\mx{A}$ 可逆。

定理 9.2：基向量的映射
对于线性映射 $\vc{y} = F(\vc{x})$，若写作 $\vc{y} = \mx{A}\vc{x}$，则 $\mx{A}$ 的列向量即为基向量的像：$\vc{a}_{,1} = F(\vc{e}_1), \vc{a}_{,2} = F(\vc{e}_2), ...$

定义 5.2：线性无关与相关
向量组 $\vc{v}_1,\dots,\vc{v}_n$ 线性无关，当且仅当方程 \begin{equation} k_1\vc{v}_1 + k_2 \vc{v}_2 + \dots + k_n \vc{v}_n = \vc{0}, \end{equation} 只有唯一解 \begin{equation} k_1 = k_2 = \dots = k_n =0. \end{equation} 否则线性相关。

定理 9.4：逆映射的等价性
对于线性映射 $\vc{y} = F(\vc{x})$，下列三条等价：

1. 映射 $F$ 是双射。
2. $F$ 的变换矩阵可逆。
3. 基向量的像 $F(\vc{e}_1), ..., F(\vc{e}_n)$ 构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。

定理 7.10：
对所有方阵 $\mx{A}$，下列条件等价： \begin{equation} \begin{array}{ll} (i) & \spc\text{列向量是基} \\ (ii) & \spc\text{行向量是基} \\ (iii) & \spc\text{方程} \mx{A} \vc{x} = 0 \text{只有零解} \\ (iv) & \spc\text{方程} \mx{A} \vc{x} = \vc{y} \text{对任意} \vc{y} \text{有解} \\ (v) & \spc\text{矩阵} \mx{A} \text{可逆} \\ (vi) & \spc\det \mx{A} \neq 0 \\ \end{array} \end{equation}

定理 7.1：行列式的性质
\begin{equation} \begin{array}{llr} (iv) & \begin{vmatrix} \ldots & \vc{0} & \ldots \end{vmatrix} = 0 & \spc\text{(zero if one column is zero)} \\ (v) & \begin{vmatrix} \ldots & \vc{a}_i & \ldots & \vc{a}_j & \ldots \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \ldots & \vc{a}_j & \ldots & \vc{a}_i & \ldots \end{vmatrix} & \spc\text{(swapping columns)} \\ (vi) & \begin{vmatrix} \ldots & \vc{a}_i & \ldots & \vc{a}_j & \ldots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \ldots & \vc{a}_i+\lambda \vc{a}_j & \ldots & \vc{a}_j & \ldots \end{vmatrix} & \spc\text{(adding to another column)} \\ (vii) & \det( \mx{A}) = \det( \mx{A}^\T) & \spc\text{(transpose)} \\ (viii) & \det( \mx{A} \mx{B}) = \det( \mx{A}) \det( \mx{B}) & \spc\text{(product)} \\ (ix) & \det( \mx{A}^{-1}) = \frac{1}{\det( \mx{A})} & \spc\text{(inverse)} \\ \end{array} \end{equation}

弹出帮助：
基底（复数形式为 bases）是一组线性无关的向量，空间中的任意向量都可以表示为这些基向量的线性组合。 如果基为 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2,\vc{e}_3\}$，那么空间中任意向量 $\vc{v}$ 都可用三个数 $(x,y,z)$ 表示，使得 $\vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2 + z\vc{e}_3$。 通常基是隐含的，在这种情况下我们写作 $\vc{v}=(x,y,z)$。为了区分不同向量的分量表示，可以使用 $\vc{v}=(v_x,v_y,v_z)$ 和 $\vc{u}=(u_x,u_y,u_z)$。

弹出帮助：
映射 $\vc{y} = F(\vc{x})$ 是双射当且仅当它既 是单射又是满射。由于它是满射，它可以到达 陪域中的每个 $\vc{y}$，而且由于它是单射，从 $\vc{y}$ 返回到 $\vc{x}$ 定义良好。

如果线性映射 $\vc{y} = \mx{A}\vc{x}$ 是双射，这意味着 变换矩阵 $\mx{A}$ 是可逆的，并且 $\mx{A}$ 的列在陪域中构成基。

弹出帮助：
映射 $F$ 是一条规则，写成 $F: N \rightarrow M$， 其中对于集合 $N$ 中的每一项，函数 $F$ 在另一个集合 $M$ 中提供一项。这里 $M$ 是陪域。

弹出帮助：
$n$ 维列向量 $\vc{v}$ 相对于一个基表示，由 $n$ 个标量值的一列组成。 向量元素有时记为 $v_1$、$v_2$、...、$v_n$。对于二维和三维向量，有时 我们也使用 $v_x$、$v_y$ 和 $v_z$。 记号为

\begin{equation} \underbrace{ \vc{u} = \begin{pmatrix} u_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \end{pmatrix}}_{\text{一维向量}}, \spc\spc \underbrace{ \vc{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\text{二维向量}}, \spc\spc \underbrace{ \vc{w} = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}}_{\text{三维向量}}, \end{equation}

其中 $\vc{u} = u_x \vc{e}_1$、$\vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2$， 以及 $\vc{w} = w_x \vc{e}_1 + w_y \vc{e}_2 + w_z \vc{e}_3$。 注意 $\vc{e}_i$ 是基向量。
在我们的文本中，我们也使用简化符号 $\vc{w} = \bigl(w_1,w_2,w_3\bigr)$，含义与上面相同 （注意向量元素之间有逗号）。 但行向量元素之间没有逗号。

弹出帮助：
映射 $F$ 是一条规则，写成 $F: N \rightarrow M$， 其中对于集合 $N$ 中的每一项，函数 $F$ 在另一个集合 $M$ 中提供一项。这里 $N$ 是定义域。

弹出帮助：
映射 $\vc{y} = F(\vc{x})$ 是单射当且仅当从 $\vc{y}$ 返回到 $\vc{x}$ 定义良好。

更正式地说，如果 $\vc{y} = F(\vc{x})$ 是单射，那么两个不同的向量 $\vc{x}_1 \neq \vc{x}_2$ 必定产生两个不同的映射，$F(\vc{y}_1) \neq F(\vc{y}_2)$。

同样，如果 $\vc{y} = F(\vc{x})$ 是单射，那么如果两个映射 $\vc{y}_1 = F(\vc{x}_1)$ 和 $\vc{y}_2 = F(\vc{x}_2)$ 相同 $\vc{y}_1 = \vc{y}_2$，那么这意味着向量 $\vc{x}_1$ 和 $\vc{x}_2$ 也必定相同 $\vc{x}_1 = \vc{x}_2$。

弹出帮助：
参数形式中，直线由起点 $S$、直线方向 $\vc{d}$ 和标量 参数 $t$ 定义，使得直线上的任何点都可以从直线方程获得，即 $P(t) = S + t\vc{d}$。这种表示在任何维度都有效。
隐式形式中，直线由起点 $S$ 和法向量 $\vc{n}$ 定义。对于直线上的任何点 $P$， 满足 $\vc{n}\cdot (P-S) = 0$。这种表示仅在二维中有效。

弹出帮助：
方程组被称为线性的，如果它只包含零阶和一阶多项式项， 即常数或一阶项，如 $9x$、$-2y$ 和 $0.5z$。

弹出帮助：
映射 $F$ 是线性的，当且仅当它满足

\begin{equation} \begin{cases} F( \vc{x}' + \vc{x}'') = F(\vc{x}') + F(\vc{x}''), \\ F( \lambda \vc{x} ) = \lambda F(\vc{x}). \\ \end{cases} \end{equation}

弹出帮助：
映射 $F$ 是一条规则，写成 $F: N \rightarrow M$， 其中对于集合 $N$ 中的每一项，函数 $F$ 在另一个集合 $M$ 中提供一项。

弹出帮助：
映射 $F$ 是非线性的，如果它违反以下一条或两条规则：

\begin{equation} \begin{cases} F( \vc{x}' + \vc{x}'') = F(\vc{x}') + F(\vc{x}''), \\ F( \lambda \vc{x} ) = \lambda F(\vc{x}). \\ \end{cases} \end{equation}

弹出帮助：
法向量 $\vc{n}$ 是二维直线和三维平面在隐式形式中的描述的一部分。 平面方程为

\begin{equation} \vc{n}\cdot (P-S)=0, \end{equation}

其中 $\vc{n}$ 是正交于平面的向量，$P$ 是平面上的任意点， 而 $S$ 是平面上的已知点。 类似地，直线是 $\vc{n}\cdot (P-S)=0$，其中 $\vc{n}$ 是正交于直线的向量，$P$ 是直线上的任意点， 而 $S$ 是平面上的特定点。平面也可以写成 $ax+by+cz+d=0$，而直线可以写成 $ax+by+c=0$。

弹出帮助：
$n$ 维正交法基由 $n$ 个基向量 $\vc{e}_i$ 组成，使得 当 $i\neq j$ 时 $\vc{e}_i\cdot \vc{e}_j$ 为 0，当 $i=j$ 时为 1。标准基是正交法的。 在二维中，我们可以看到这是真实的 因为 $\vc{e}_1\cdot\vc{e}_2=$$(1,0)\cdot(0,1)=0$ 和 $\vc{e}_i\cdot\vc{e}_i=1$。

弹出帮助：
在参数形式（也称为显式形式）中，平面方程由 $P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2$ 给出， 其中 $S$ 是平面中的一点，$\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$ 是平面上的两个非平行非零向量。 使用参数 $t_1$ 和 $t_2$，可以到达任何点 $P(t_1,t_2)$。
在隐式形式中，平面方程由 $\vc{n}\cdot(P-S)=0$ 给出，其中 $\vc{n}$ 是法向量， 而 $S$ 是平面上的一点。仅对于位于平面中的点 $P$， 公式才等于 $0$。

弹出帮助：
投影是从一个集合到该集合的较小集合（即子集）的映射。例如，如果一个 3D 点 被投影到平面上的最近点，那么起始集合是所有 3D 点，被投影减少到 平面中的点。

弹出帮助：
映射 $F$ 的值域或像是集合 $V_F$，其中

\begin{equation} V_F = \{F(x) | x \in N\}. \end{equation}

弹出帮助：
映射 $\vc{y} = F(\vc{x})$ 是满射，如果 可以到达陪域中的每个 $\vc{y}$。换句话说，如果 $\vc{x} \in N$ 和 $\vc{y} \in M$，那么对于 $M$ 中的每个 $\vc{y}$，在 $N$ 中至少存在一个 $\vc{x}$ 使得 $F(\vc{x}) = \vc{y}$。

弹出帮助：
单位向量 $\vc{u}$ 是长度为 1 的向量，即 $||\vc{u}||=1$。从另一个向量创建单位 向量的过程称为归一化，因此单位向量通常也称为归一化向量。 要从任意向量 $\vc{v}$ 生成单位向量，只需除以其长度：$\vc{u} = \frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}$。

第 8 章：秩（前一章）

第 10 章：特征值和特征向量（后一章）